关于拓扑向量丛切丛同构类型的技术问询

嘿，这个问题的答案是不一定——同一个拓扑流形上的不同光滑结构，对应的切丛作为拓扑向量丛完全可能不同构。

最经典的例子就是Milnor的7维怪球：

• 标准7维球面$S^{7$的切丛是**平凡拓扑向量丛**（这是因为$S}n$的切丛平凡当且仅当$n=1,3,7$，和Hopf纤维化的存在性直接相关）。
• 但Milnor构造出了和$S^7$同胚但不微分同胚的光滑流形（也就是所谓的“怪球”），其中部分怪球的切丛是非平凡的拓扑向量丛。

我们可以用拓扑示性类（比如Pontryagin类、欧拉类）或者拓扑K-理论来区分这些切丛：标准$S^7$切丛的示性类都是零，而那些怪球的切丛会有非零的示性类，这直接证明了它们作为拓扑向量丛不同构。

当然也不是所有情况都如此，比如低维流形$S^1,S2,S^3$都只有唯一的光滑结构，自然不会出现这种问题；但高维拓扑流形存在多个光滑结构时，切丛的拓扑同构性就不一定能保持了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者isekaijin