关于满足特定条件的线性变换为线性等距变换的证明求助

大家好，这个问题已经卡了我好几天了，真心感谢各位愿意花时间看看我的困惑！

问题如下：
设$W$是$n$维欧几里得向量空间，$f \in \text{End}(W)$满足$(\det(f))^2 = 1$，并且对于所有满足$||w|| \leq 1$的$w \in W$，都有$||f(w)|| \leq 1$。

需要证明：$f$是线性等距变换。

我知道线性等距变换的核心是保距性，所以其实就是要证对任意$w \in W$，都有$\quad ||f(w)|| = ||w||$。

我试过构造标准正交基来推导$f$的映射矩阵，但试了好几种方式都没成功，实在找不到突破口了。

麻烦各位大佬给点思路或者解法，万分感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Loving_