平面上两两相交且交点互异的n条线段能否新增一条与所有线段相交的线段？

嘿，这个问题的直觉确实是对的——答案是肯定可以！我来给你拆解一下为什么，尽量用直观的思路而不是太抽象的定理：

先再把问题理清楚，避免歧义：平面上有n条线段，任意两条都相交，而且所有交点都是独一无二的（没有三条线段挤在同一个点相交）。现在要找一条新线段，让它和这n条原线段都相交，而且新产生的交点也全不重复。

从投影角度理解可行性 #

咱们先选一条任意的直线（比如水平直线），把所有原线段都投影到这条直线上。因为任意两条原线段都相交，它们的投影区间必然是重叠的——要是两条线段的投影完全不搭边，那它们在平面上根本不可能相交对吧？
既然所有投影的交集是一个非空的区间，那我们可以画一条垂直于这条水平直线的线段，让它的投影正好落在这个交集中。这条垂直线段就会和每一条原线段相交，因为原线段的投影覆盖了这个交集，意味着原线段必然穿过这个垂直区域。

构造时避开重合交点 #

可能你会担心：会不会这条垂直线段和某两条原线段的交点重合？别担心，因为原问题里没有三线共点，而且我们有无数种方向可以选。比如刚才选的是垂直方向，要是这个方向刚好碰到两个交点重合，我们只要稍微把这条线段旋转一点点（比如转1度），因为原交点都是分散的，旋转之后新的交点肯定会错开，而且依然能和所有原线段相交——毕竟旋转的角度很小，原线段的投影交集还是存在的，这条旋转后的线段依然能穿过所有原线段。

为什么有三线共点时可能不行？ #

你提到的反例很关键：当原线段存在共享交点（比如三条线段交于同一点）时，想找一条新线段满足条件就可能碰壁。比如你说的三角形加一条从顶点到对边的线段，这条新线段和两条边的交点都是同一个顶点，就不符合“新交点互异”的要求。这是因为原线段有重合的交点，新线段很容易撞上这些共享点，导致交点重复——但你的问题里明确排除了这种情况，所以不用顾虑。

总结一下：在所有原线段两两相交且交点全不重复的前提下，我们总能找到这样的新线段——本质上是因为这些线段的排列没有形成“无法穿透”的封闭结构，而且我们有足够多的方向和位置可以选择，避开所有可能的重合交点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomer Kandel