关于求解含自然数参数n的无穷积分的技术求助

我现在需要求解下面这个不定积分，其中$n\in \mathbb{N}$且$n \ge 3$：

$$\int\dfrac{dx}{\sqrt[n - 1]{x^{2n - 4}} \sqrt[2n - 2]{(1 - x²⁾{n + 1}}}$$

我自己尝试了解题步骤，不过想请大家帮忙检查是否正确，或者有没有更优的解法：

• 首先做变量替换$x = \sin(\alpha)$，代入后化简得到：
  $$\int \frac{d \alpha}{\sin^{\frac{2n -4}{n -1}}(\alpha) \cos^{\frac{2}{n - 1}}(\alpha)}.$$

• 接着用第二个变量替换$z = \tan(\alpha)$，结合三角函数关系转换积分式，最终得到：
  $$\int z^{\frac{4 - 2n}{n -1}} dz = \frac{n - 1}{3 - n} z^{\frac{3 - n}{n -1}} + \text{常数}. $$

• 最后把变量换回原变量$x$（利用$z = \tan\alpha = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$），得到最终结果：
  $$\frac{n - 1}{3 - n}\frac{\sqrt[n - 1]{x^{3 - n}}}{\sqrt[2n - 2]{(1 - x²⁾{3 - n}}} + \text{常数}.$$

不知道我的推导过程有没有疏漏，或者这个结果是否正确？麻烦各位帮忙指点一下，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mary_26