数域K中判别式d_K的平方根√d_K为何属于该数域？相关原理问询

嘿，先给你澄清一个容易混淆的关键点——**并不是所有数域K都满足$\sqrt{d_K} \in K$**哦！你在二次域例子里得到的结论，其实是二次域的特殊性质，没法直接推广到所有数域。咱们先从你疑惑的二次域情况讲明白，再拓展到一般情况：

二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的情况 #

• 当$d \equiv 1 \pmod{4}$时，数域的整基是${1, \frac{1+\sqrt{d}}{2}}$，计算出来的判别式$d_K = d$，那$\sqrt{d_K} = \sqrt{d}$，显然是$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$的生成元，自然在域内，这个你已经搞懂了。
• 当$d \equiv 2,3 \pmod{4}$时，整基是${1, \sqrt{d}}$，判别式$d_K = 4d$，这时候$\sqrt{d_K} = 2\sqrt{d}$。别觉得它不是$\sqrt{d}$就不在域里——$\sqrt{d}$本身是域内元素，乘以整数2（有理数，肯定在域里），结果当然还是$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$中的元素呀！这就是你之前没绕过来的地方~

一般数域的情况 #

很多非二次数域里，$\sqrt{d_K}$根本不在K中。举个直观的例子：三次域$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$，它的判别式$d_K = -108$，$\sqrt{d_K} = 6i\sqrt{3}$，但$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$是实域，里面没有任何虚数元素，显然$\sqrt{d_K}$不可能在这个域里。

那为什么二次域这么特殊？这得从判别式的本质说起：
判别式$d_K$是数域K的整基${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$对应的矩阵$(\sigma_i(\alpha_j))$的行列式的平方（$\sigma_i$是K到代数闭包的所有嵌入）。这个行列式本身（也就是$\sqrt{d_K}$的“原型”）是一个代数整数，Galois群中的元素作用在它上面时，结果要么是它本身，要么是它的相反数（因为Galois置换嵌入相当于对行列式的行做置换，置换的奇偶性决定符号）。

对于二次域来说，Galois群只有两个元素：恒等映射和共轭映射。共轭映射作用在$\sqrt{d_K}$上会得到$- \sqrt{d_K}$，而二次域里的元素正好满足“共轭后要么不变（有理数），要么变号（形如$a+b\sqrt{d}$的元素）”，所以$\sqrt{d_K}$完美符合这个性质，自然就在域内。

但对于一般数域，比如刚才的三次域，它的Galois闭包的群结构更复杂，$\sqrt{d_K}$的共轭元素可能无法被K包含，也就不在K里了。

最后再划个重点：

• 二次域中$\sqrt{d_K}$一定在K中，只是形式随$d$的模4余数不同而变化；
• 判别式$d_K$本身是有理数，所以肯定在K中，但它的平方根不必然属于所有数域，这是二次域独有的特性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yang Awotwi