为何Wick旋转热方程等价于梅林变换后再傅里叶变换的热方程？

哇，这个发现真的太有意思了！我完全能共情你那种惊喜又好奇的心情——两种看起来风马牛不相及的操作，居然最终导出了几乎一模一样的方程，这背后肯定藏着数学物理里那些巧妙的对称性联系。

咱们一点点拆解来看：

首先，你的原方程（1）本质是个类热方程，属于抛物型偏微分方程，而Wick旋转（$x \mapsto -ix$）的核心是把实空间轴旋转到虚轴上，这是热方程和薛定谔方程之间经典的“跨界桥梁”——热方程的扩散行为，在复旋转后就变成了量子力学里的波函数演化，所以得到方程（2）这种类薛定谔形式一点都不奇怪。

那为什么Mellin变换加Fourier变换的组合也能得到类似的结果呢？这得从这两个变换的本质说起：

• Mellin变换天生擅长处理带有尺度齐次性的问题，你的原方程里系数$c(t,x)=-t/x$刚好是齐次项，Mellin变换把时间变量$t$转化为参数$s$的过程，其实是把$t$的尺度变换转化为$s$的线性操作，同时把原方程里的$t/x$项转化成了$s^2/x2$，相当于把时间维度的导数问题“转译”成了参数$s$的导数问题，还调整了空间导数的阶数。
• 再做Fourier变换到$\rho$空间，这一步是把空间变量的导数转化为频率域的乘法操作，同时把$1/x^2$这种幂次项转化为$\rho$空间的对应形式，最终就得到了方程（4）。

而这两个变换的组合，本质上和Wick旋转是同源的：Mellin变换可以看成是对数坐标下的Fourier变换，相当于先把尺度问题转化为平移问题，再结合Fourier变换的复频率特性，这一套操作下来，其实等效于在复平面上做了一次旋转——和Wick旋转直接把$x$转到虚轴的操作，在改变方程类型、连接抛物型和类薛定谔方程这一点上，起到了完全相同的作用。

更本质地说，这两种路径都利用了方程的复对称性和齐次性：不管是直接旋转变量，还是通过积分变换转译变量，最终都是把热方程的扩散结构，转化成了具有量子演化特征的形式，所以得到几乎一样的方程是完全可以预期的——这其实是数学物理里不同变换之间深层联系的体现，很多看似独立的操作，底层都是在玩弄同样的对称性！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Zimmerman