关于Viot等人1993年弹道沉积论文中PDE变量替换推导的疑问求助

我最近在复现Viot等人1993年那篇弹道沉积论文里的推导，论文第二页给出了这么一段结论：

Introducing the function $H_a(t)$ such that $G(h,t) = \exp[-(h-1+2a)t]H_a(t)$ for $h \geq 1$ and using Eq. (1), one gets the differential equation $$\frac{d \ln{H_a(t)}}{d t} = 2e^{-t} \Big[a + \frac{1}{t} \Big]$$

我从论文里的Eq.(1)出发尝试复现这个推导，Eq.(1)的表达式是：
$$\frac{\partial G(h, t)}{\partial t} = -(h-1+2a)G(h,t) + 2aG(h+1,t) + 2\int_{h+1}^\infty G(h',t) dh'$$

首先我把$G(h,t) = \exp[-(h-1+2a)t]H_a(t)$代入到上面的偏微分方程中，得到：
$$ \frac{\partial }{\partial t} \Big[\exp[-(h-1+2a)t]H_a(t) \Big] = -(h-1+2a)\exp[-(h-1+2a)t]H_a(t) + 2a\exp[-(h+2a)t]H_a(t) + 2\int_{h+1}^\infty \exp[-(h'-1+2a)t]H_a(t) dh'
$$

经过整理后，我得到了下面的式子（刚才输入时不小心重复了一遍，这里只保留一次）：
$$ \frac{d H_a(t)}{d t} \exp[-(h-1+2a)t] = 2a\exp[-(h+2a)t]H_a(t) + \frac{2H_a(t)\exp[-(2a+h)t]}{t}
$$

进一步化简后，我得到：
$$ \frac{d H_a(t)}{d t} = 2H_a(t)e^{-t} \Big[ a + \frac{1}{t} \Big] $$

这个结果看起来和论文里的结论非常接近，但就是不完全一致。我试着把等式两边都除以$H_a(t)$，却还是得不到论文里给出的形式，我肯定是哪里漏掉了关键步骤，有没有大佬能帮我找出问题所在？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Std_Dev