关于扩散过程首达时期望显式公式的技术问询

很高兴能帮你解答这个关于扩散过程首达时期望的问题！咱们从尺度函数（scale function）和速度测度（speed measure）这两个核心工具入手，一步步梳理显式表达式，同时针对全实数域的情况补充细节：

首先明确你给出的问题设定：
扩散过程满足随机微分方程（SDE）：
$$dX(t) = \mu(X(t))dt + \sigma(X(t))dW(t), \quad X(0) = x$$
你关注的首达时间为 $\tau = \inf {t\geq 0: X(t) \leq y}$（其中 $y < x$），目标是求解该首达时间的期望 $\mathbb{E}[\tau]$。

核心工具：尺度函数与速度测度 #

要推导显式公式，这两个工具是关键：

• 尺度函数 $S(\cdot)$：满足微分方程
  $$\frac{d}{dz}S(z) = \exp\left(-\int_{z_0}^z \frac{2\mu(u)}{\sigma^2(u)}du\right)$$
  这里 $z_0$ 是任意参考点，其选择不影响最终结果（尺度函数的线性变换不改变扩散过程的首达性质）。
• 速度测度 $m(\cdot)$：定义为
  $$dm(z) = \frac{2}{\sigma^2(z)S'(z)}dz = \frac{2}{\sigma^{2(z)}\exp\left(\int_{z_0}}z \frac{2\mu(u)}{\sigma^2(u)}du\right)dz$$

首达时期望的显式表达式 #

我们可以利用Dynkin公式推导期望的表达式：
假设我们关注区间 $(y, \infty)$（起始点 $x > y$，到达 $y$ 时停止），选择合适的函数 $f$ 使得扩散过程的生成元 $\mathcal{L}f(z) = -1$（生成元 $\mathcal{L}f(z) = \mu(z)f'(z) + \frac{1}{2}\sigma^2(z)f''(z)$），同时满足边界条件 $f(y) = 0$。

解这个微分方程后，首达时期望的显式公式为：
$$\mathbb{E}[\tau] = \int_y^x \left(S(x) - S(u)\right)dm(u)$$

也可以展开为更便于计算的积分形式：
$$\mathbb{E}[\tau] = 2\int_y^x \frac{S(x) - S(u)}{\sigma^2(u)S'(u)}du = 2\int_y^x \left(S(x) - S(u)\right)\exp\left(\int_{z_0}^u \frac{2\mu(v)}{\sigma^{2(v)}dv\right)\frac{du}{\sigma}2(u)}$$

全实数域的特殊情况说明 #

你提到Karatzas & Shreve的《Brownian Motion and Stochastic Calculus》中Chapter 5.5的内容未完全覆盖全实数域的场景，这里补充两点：

• 如果扩散过程在全实数域是常返的（比如均值回复的Ornstein-Uhlenbeck过程），那么首达时期望 $\mathbb{E}[\tau]$ 是有限的，上述积分收敛。
• 如果过程是暂留的（比如带正漂移的标准布朗运动，$\mu(z)=c>0, \sigma(z)=1$），对于固定的 $y < x$，积分依然收敛，可直接用公式计算；但当 $y \to -\infty$ 时，首达时期望会趋向无穷。

举个简单验证例子：标准布朗运动（$\mu(z)=0, \sigma(z)=1$），尺度函数 $S(z)=z$，速度测度 $dm(z)=2dz$，代入公式得：
$$\mathbb{E}[\tau] = \int_y^x (x - u) \cdot 2du = (x - y)^2$$
这和已知的标准布朗首达时期望结果完全一致，验证了公式的正确性。

补充参考方向 #

除了你提到的Karatzas & Shreve的著作，还可以参考：

• 《Stochastic Processes》by Richard Durrett：书中扩散过程章节有更直观的首达时间计算示例，覆盖全实数域场景。
• 《Diffusions, Markov Processes, and Martingales》by Rogers & Williams：第二卷详细讨论了尺度函数、速度测度与首达时间的关系，对全实数域扩散有专门分析。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者george