关于酉矩阵的技术疑问：矩阵是否具备类似复数的酉缩放等价性？
嘿，这个问题把复数里的经典性质推广到矩阵上，思路特别自然，但直接按行列式模相等来推广是不成立的，咱们慢慢拆解清楚：
首先先回顾复数的场景：如果两个复数$a,b$满足$|a|=|b|$，确实存在单位复数$e^{i\theta}$使得$a = b e^{i\theta}$——本质是复数模相等意味着它们在复平面上处于同一个以原点为圆心的圆上，旋转（乘单位复数）就能把一个映射到另一个，这个逻辑完全没问题。
但到矩阵这里，事情就复杂多了，仅仅$|\det A|=|\det B|$这个条件太弱，不足以保证存在酉矩阵$U$使得$A=BU$，咱们举个简单的反例就能验证：
取$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$，显然$|\det A|=|\det B|=2$，但假设存在酉矩阵$U$满足$A=BU$，咱们来推导矛盾：
设$U = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$，酉矩阵要求$U^*U=I$，也就是：
- $|a|^2 + |c|^2 = 1$
- $|b|^2 + |d|^2 = 1$
- $a\overline{b} + c\overline{d} = 0$
而$BU = \begin{pmatrix} a & b \ 2c & 2d \end{pmatrix}$，要等于$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$，就必须满足：
$a=2$，$b=0$，$2c=0$，$2d=1$。代入酉矩阵的第一个条件，$|a|^2 + |c|^2 = 4 + 0 = 4 \neq 1$，直接违反酉矩阵的定义，所以这样的$U$不存在。
那正确的充要条件是什么呢？其实和你提到的奇异值分解（SVD）直接相关：
两个矩阵$A,B$存在酉矩阵$U$使得$A=BU$的充要条件是：$A$和$B$的奇异值完全相同（包括重数）
咱们从SVD的角度来理解：
- 对$A$做SVD分解：$A = V_A \Sigma_A U_A^*$，其中$V_A,U_A$是酉矩阵，$\Sigma_A$是对角矩阵，对角元就是$A$的非负奇异值；
- 对$B$做SVD分解：$B = V_B \Sigma_B U_B^*$。
如果$A=BU$，代入得$V_A \Sigma_A U_A^* = V_B \Sigma_B U_B^* U$，令$U' = U_B^* U U_A$（酉矩阵的乘积仍是酉矩阵），则有$V_A \Sigma_A = V_B \Sigma_B U'$。两边取共轭转置再左乘自身，得到$\Sigma_A^2 = U'^* \Sigma_B^2 U'$——由于$\Sigma_A,\Sigma_B$都是对角矩阵，这个等式意味着它们的对角元（即奇异值的平方）必须完全相同（不计顺序，但奇异值本身是非负的，所以奇异值也完全相同）。
反过来，如果$A$和$B$的奇异值完全相同（即$\Sigma_A=\Sigma_B$），我们可以构造酉矩阵$U = U_B V_B^* V_A U_A^$，代入验证：
$$BU = B U_B V_B^ V_A U_A^* = V_B \Sigma_B U_B^* U_B V_B^* V_A U_A^* = V_B \Sigma_B V_B^* V_A U_A^* = V_A \Sigma_A U_A^* = A$$
显然$U$是酉矩阵（多个酉矩阵的乘积、共轭转置仍为酉矩阵），满足要求。
另外补充两点：
- 你提到的「共享左奇异向量基」是充分条件，但不是必要条件——只要奇异值相同，哪怕左奇异向量不同，也能构造出符合要求的酉矩阵$U$；
- 如果$A,B$是正规矩阵，情况会稍特殊：此时奇异值就是特征值的模，所以充要条件转化为「$A,B$的特征值的模的集合完全相同（包括重数）」，这时候行列式模相等（特征值模的乘积相等）依然只是必要不充分条件。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者NYG
