求使函数f(x)=|x|+|ax+1|存在垂直对称轴的实数a的个数

嘿，你一开始的思路完全没问题！垂直对称轴本来就是形如x=p的竖直线，所以用f(p+x)=f(p-x)对所有实数x都成立这个条件来推导，绝对是正确的方向～

我来一步步帮你理清楚：

首先，把f(p+x)和f(p-x)展开写出来：

f(p+x) = |p+x| + |a(p+x)+1| = |x+p| + |a x + (a p + 1)|
f(p-x) = |p-x| + |a(p-x)+1| = |x-p| + |-a x + (a p + 1)|

令b = a p + 1，等式就变成：
|x+p| + |a x + b| = |x-p| + |a x - b| 对所有x∈R成立。

接下来分情况讨论a的取值：

情况1：a=0 #

这时候函数简化成f(x)=|x|+1，显然是关于y轴对称的，对称轴就是x=0，完全符合条件。

情况2：a=1 #

代入后函数是f(x)=|x| + |x+1|，我们试试p=-0.5：

f(-0.5+x) = |x-0.5| + |x-0.5+1| = |x-0.5| + |x+0.5|
f(-0.5-x) = |x+0.5| + |x+0.5-1| = |x+0.5| + |x-0.5|

两者完全相等，说明x=-0.5是它的垂直对称轴，成立。

情况3：a=-1 #

函数变成f(x)=|x| + |-x+1| = |x| + |x-1|，试试p=0.5：

f(0.5+x) = |x+0.5| + |x+0.5-1| = |x+0.5| + |x-0.5|
f(0.5-x) = |x-0.5| + |x-0.5+1| = |x-0.5| + |x+0.5|

也完全相等，所以x=0.5是对称轴，成立。

情况4：a≠0,±1 #

假设存在这样的对称轴x=p，那根据之前的等式，我们可以通过分析绝对值函数的分段线性性质来推导：
当x的取值落在某个中间区间时，绝对值可以去掉，等式会变成线性方程。比如当x在某个中间区间时，左边会是2x，右边会是-2a x，要让这两个对所有x都相等，只能2=-2a即a=-1，或者2=2a即a=1，这就回到了前面的情况。

如果尝试其他可能的分段对应，会发现要么推出矛盾（比如1=0这种不可能的等式），要么只有当x取特定值时等式成立，无法满足所有实数x的要求。

所以综合下来，满足条件的实数a有3个：-1、0、1。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David Dragan