如何判断点是否处于经过2D变换的矩形内部？

核心思路 #

直接判断点在变换后矩形内需要处理复杂的多边形边界检测，更高效的方式是将待判断点通过逆变换映射回原矩形的坐标系：只要映射后的点落在原中心(0,0)、宽w高h的矩形内部（即 -w/2 < px' < w/2 且 -h/2 < py' < h/2），就说明原点点在变换后的矩形中。

原变换顺序为：缩放(sclX, sclY) → 旋转deg角度 → 平移(x,y)，因此逆变换必须按完全颠倒的顺序执行：逆平移 → 逆旋转 → 逆缩放。

逆变换分步推导 #

1. 逆平移 #

原平移操作是给点的坐标加上(x,y)，逆平移则是将待判断点减去平移量：

px₁ = px - x
py₁ = py - y

2. 逆旋转 #

原旋转是绕原点旋转deg度，对应的旋转矩阵为：

[cosθ  -sinθ]
[sinθ   cosθ]

其中θ是将角度转换为弧度后的结果（θ = deg × π / 180）。逆旋转等价于旋转-deg度，对应的矩阵为：

[cosθ   sinθ]
[-sinθ  cosθ]

用该矩阵计算逆平移后的点，得到：

px₂ = px₁ × cosθ + py₁ × sinθ
py₂ = -px₁ × sinθ + py₁ × cosθ

3. 逆缩放 #

原缩放是将x坐标乘sclX、y坐标乘sclY，逆缩放则是除以对应的缩放因子（需确保sclX和sclY不为0，否则变换不可逆）：

px' = px₂ / sclX
py' = py₂ / sclY

代码实现（Python） #

import math

def contains(rect, transform, px, py):
    # 提取矩形和变换参数
    w, h = rect["w"], rect["h"]
    x, y, deg, sclX, sclY = transform["x"], transform["y"], transform["deg"], transform["sclX"], transform["sclY"]
    
    # 处理缩放因子为0的情况（变换后矩形坍缩，直接返回False）
    if sclX == 0 or sclY == 0:
        return False
    
    # 角度转弧度
    theta = math.radians(deg)
    cos_theta = math.cos(theta)
    sin_theta = math.sin(theta)
    
    # 执行逆变换
    # 1. 逆平移
    px1 = px - x
    py1 = py - y
    
    # 2. 逆旋转
    px2 = px1 * cos_theta + py1 * sin_theta
    py2 = -px1 * sin_theta + py1 * cos_theta
    
    # 3. 逆缩放
    px_prime = px2 / sclX
    py_prime = py2 / sclY
    
    # 判断是否在原矩形内部（开区间，如需包含边界改为<=和>=）
    return (-w/2 < px_prime < w/2) and (-h/2 < py_prime < h/2)

注意事项 #

• 若需要包含矩形边界，将判断条件中的<替换为<=，>替换为>=
• 当sclX或sclY为0时，变换后的矩形会坍缩为线或点，可根据需求调整边界判断逻辑
• 所有三角函数计算需使用弧度值，避免角度与弧度混淆

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eilan Laken