关于自由群非自由生成集证明中指数和为0情况的延续方法问询
问题背景
设$S = {a,b}$是群$G$的生成集。若存在非平凡的字（即不是所有指数$p_i,q_i$都为0）满足：
$$a^{p_1} b^{q_1} a^{p_2} b^{q_2} \ldots a^{p_n} b^{q_n} = e$$
我们需要用自由群的泛性质证明$S$不是$G$的自由生成集。
已完成的证明尝试
假设$S$是自由生成集，记包含映射$i: S \hookrightarrow G$。当$\sum_i p_i \neq 0$或$\sum_i q_i \neq 0$时，构造映射$\phi: S \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，其中$\phi(a)=(1,0)$，$\phi(b)=(0,1)$。利用泛性质得到唯一同态$\widetilde{\phi}: G \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，计算后得到$\left(\sum_i p_i, \sum_i q_i\right)=(0,0)$，与假设矛盾。
待解决问题
当$\sum_i p_i = 0$且$\sum_i q_i = 0$时，该如何继续证明？同时希望这个方法能扩展到包含${a,b}$的更大生成集$S$。
解答思路
嘿，这个情况确实需要换个思路——原来的加法同态检测不出来总指数和为0的非平凡字，那我们换一个非交换的目标群，让这个非平凡字映射到非单位元，这样就能用泛性质导出矛盾了。这里推荐用半直积$\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$，它既能保留对指数的检测能力，又能捕捉到非交换的关系，还能轻松扩展到更大的生成集。
具体步骤
构造映射到半直积
定义半直积$\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$，运算规则为：
$$(m_1, k_1) \cdot (m_2, k_2) = (m_1 + 2^{k_1} m_2, k_1 + k_2)$$
这个半直积的结构是：第二个分量做普通加法，第一个分量的加法被第二个分量“加权”（用2的幂次，你也可以用其他大于1的整数，比如3，效果一样）。现在定义映射$\phi: S \to \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$：
- 对$a \in S$，令$\phi(a) = (1, 0)$
- 对$b \in S$，令$\phi(b) = (0, 1)$
- 对$S \setminus {a,b}$中的任意元素$s$，令$\phi(s) = (0, 0)$（或者任意不影响后续计算的元素，比如$(0, k_s)$，只要第一个分量为0就行）
利用自由群泛性质扩展同态
根据自由群的泛性质，这个映射$\phi$可以唯一扩展为群同态$\widetilde{\phi}: G \to \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$，满足$\phi = \widetilde{\phi} \circ i$。计算非平凡字的像，导出矛盾
我们来计算这个非平凡字$w = a{p_1}b{q_1}\dots a{p_n}b{q_n}$在$\widetilde{\phi}$下的像：- 每一步的乘积可以拆解为：$\widetilde{\phi}(a^{p_j}) = (p_j, 0)$，$\widetilde{\phi}(b^{q_j}) = (0, q_j)$
- 逐步计算乘积：
$$\widetilde{\phi}(a{p_1}b{q_1}) = (p_1,0) \cdot (0,q_1) = (p_1 + 2^0 \cdot 0, 0+q_1) = (p_1, q_1)$$
$$\widetilde{\phi}(a{p_1}b{q_1}a^{p_2}) = (p_1, q_1) \cdot (p_2,0) = (p_1 + 2^{q_1} p_2, q_1)$$
$$\widetilde{\phi}(a{p_1}b{q_1}a{p_2}b{q_2}) = (p_1 + 2^{q_1}p_2, q_1) \cdot (0,q_2) = (p_1 + 2^{q_1}p_2, q_1+q_2)$$ - 最终，整个字的像的第一个分量是：
$$\sum_{j=1}^n p_j \cdot 2{\sum_{i=1}{j-1} q_i}$$
（这里规定$\sum_{i=1}^0 q_i = 0$，所以第一项是$p_1 \cdot 2^0 = p_1$）
因为$w$是非平凡字，不是所有$p_i,q_i$都为0，而$\sum q_i = 0$，这个加权和肯定不为0（比如经典的换位子$aba{-1}b{-1}$，加权和是$1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2^1 = 1-2=-1 \neq 0$）。但$\widetilde{\phi}(e) = (0,0)$，这就产生了矛盾——因为我们假设$w=e$，但它们的像不同。
扩展到更大的生成集
对于包含${a,b}$的更大生成集$S$，我们只需要把额外元素映射到半直积的单位元$(0,0)$（或者其他第一个分量为0的元素），这样这些元素不会影响非平凡字的第一个分量计算，矛盾依然成立。
另一个可选方案：映射到矩阵群
如果你更喜欢矩阵群，也可以用$GL_2(\mathbb{Z})$：
- 令$\phi(a) = \begin{pmatrix}1 & 1 \0 &1\end{pmatrix}$，$\phi(b) = \begin{pmatrix}1 &0 \1 &1\end{pmatrix}$
- 额外元素映射到单位矩阵
- 非平凡字的像会是一个非单位矩阵（比如换位子的像为$\begin{pmatrix}2 &1 \1 &1\end{pmatrix}$，显然不是单位矩阵），同样导出矛盾。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者stoic-santiago
