含YSR磁杂质的1D BCS超导体态密度模拟：代码问题与优化

一、LDOS异常的错误原因及修正 #

1. LDOS计算逻辑错误 #

BCS体系的电子局域态密度（LDOS）仅需考虑BdG本征态中电子分量的权重，你的代码错误引入了空穴分量的反向能量项，导致LDOS出现异常振荡且远隙处无法匹配BCS预期。正确的LDOS计算仅需对电子分量的洛伦兹峰叠加：

def compute_ldos(E_vals, E, psi, eta, site):
    """ 计算指定格点的电子局域态密度 """
    # 提取当前格点的电子分量（对应BdG哈密顿量的上半部分）
    u1 = psi[4 * site, :]
    u2 = psi[4 * site + 1, :]
    # 仅累加电子分量的权重贡献
    ldos = (np.abs(u1)**2 + np.abs(u2)**2) * (eta / np.pi) / ((E - E_vals)**2 + eta**2)
    return np.sum(ldos)

2. 哈密顿量边界构造错误 #

手动赋值的周期边界条件存在索引覆盖不全的问题，建议用循环逻辑统一处理，避免遗漏或错误：

# 处理周期边界（最后一个格点到第一个格点的hopping）
last_block_start = N - 4
# 电子块 hopping
H[last_block_start, 0] = -t
H[last_block_start + 1, 1] = -t
# 空穴块 hopping
H[last_block_start + 2, 2] = t
H[last_block_start + 3, 3] = t
# 对称转置项
H[0, last_block_start] = -t
H[1, last_block_start + 1] = -t
H[2, last_block_start + 2] = t
H[3, last_block_start + 3] = t

3. 维度与格点映射混淆 #

矩阵总维度N对应每个格点4个BdG分量，实际格点数为N//4。若site_index=250超出实际格点数范围（如N=2000时格点数为500，250是合法的），需确保杂质仅作用于目标格点，避免非预期的全局扰动。

二、大矩阵计算的性能优化 #

当N=8000时，全矩阵对角化时间复杂度为O(N³)，效率极低，可采用以下两种方案：

1. 稀疏矩阵对角化 #

BdG哈密顿量是高度稀疏的，使用稀疏矩阵存储并仅求解目标能量范围的特征值，大幅减少计算量：

from scipy.sparse import lil_matrix, csr_matrix
from scipy.sparse.linalg import eigsh

# 用稀疏矩阵初始化哈密顿量
H_sparse = lil_matrix((N, N), dtype=complex)
# 按原逻辑填充非零元（替换为稀疏矩阵赋值）
# ...

# 转换为CSR格式加速计算
H_sparse = H_sparse.tocsr()
# 仅求解[-3,3]附近的200个特征值与特征向量
eigenvalues, eigenvectors = eigsh(H_sparse, k=200, sigma=0, which='LM')

2. 递归格林函数（RGF）方法 #

计算单个格点LDOS时，RGF无需对角化整个矩阵，时间复杂度为O(N)，核心是通过递推计算格林函数的对角元：

def compute_ldos_rgf(E, delta, t, U, JS, eta, total_sites, target_site):
    # 初始化左右段格林函数
    gl = np.array([[E - (U+JS), delta], [np.conj(delta), -E + (U+JS)]])
    gr = gl.copy()
    # 递推计算中间段格林函数
    for _ in range(total_sites - 1):
        # 构造传播子
        prop = np.array([[E + t, delta], [np.conj(delta), -E + t]])
        gl = np.linalg.inv(prop - np.dot(gl, np.array([[t, 0], [0, -t]])))
        gr = np.linalg.inv(prop - np.dot(np.array([[t, 0], [0, -t]]), gr))
    # 拼接杂质格点的格林函数
    g_imp = np.linalg.inv(np.array([[E - (U+JS), delta], [np.conj(delta), -E + (U+JS)]]) - np.dot(np.array([[t, 0], [0, -t]]), np.dot(gl, np.array([[t, 0], [0, -t]]))))
    # 提取LDOS
    return -np.imag(np.trace(g_imp)) / (2 * np.pi)

该方法在大体系下可瞬间完成单个格点的LDOS计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ivana curci