实射影平面上固定点[0,0,1]及所有过该点直线的射影变换矩阵完备性验证问询

各位好，我最近在探究射影变换的相关问题，先跟大家分享一下前置的几何构造背景：

给定一条固定直线$L$和两个固定点$S,S'$。
对平面上任意点$P$，作直线$PS'$交$L$于$Z$；
过$S'$作平行于$SP$的直线，交直线$SZ$于$P'$。
这个映射$P\mapsto P'$会把过$S$的直线映射为过$S'$的平行直线：$S'P'$平行于$SP$。
通过平移操作，我们可以假设$S=S'$。

基于这个构造，我现在想刻画实射影平面$\mathbb{RP}^2$上固定点$[0,0,1]$，且固定所有过该点的直线的射影变换矩阵。

我自己找到了一类满足条件的矩阵，形式如下：
$$\pmatrix{1&0&0\0&1&0\A&B&C}$$
其中$A,B\in\mathbb{R}$，$C\in\mathbb{R}$且$C\ne0$。

不过我不确定这是不是满足条件的全部射影变换矩阵，想请教一下各位大佬！

我对上述矩阵满足条件的验证过程 #

首先计算该矩阵的伴随矩阵：
$$\text{adj}\left(\pmatrix{1&0&0\0&1&0\A&B&C}\right)=\pmatrix{C&0&0\0&C&0\-A&-B&1}$$

在射影平面中，所有过点$[0,0,1]$的直线都可以表示为$[u,v,0]$的形式（射影直线由齐次向量等价类表示）。我们用这条直线的齐次向量左乘伴随矩阵：
$$(u,v,0)\pmatrix{C&0&0\0&C&0\-A&-B&1}=(Cu,Cv,0)$$
由于射影直线的齐次向量成比例即代表同一条直线，$(Cu,Cv,0)$和原直线$[u,v,0]$是同一条直线，因此所有过$[0,0,1]$的直线都被该变换固定。同时该矩阵作用于点$[0,0,1]$时，结果为$[0,0,C]$，对应射影点$[0,0,1]$，所以点$[0,0,1]$也被固定。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hbghlyj