高斯分布上尾积分的紧致边界证明求助

嘿，我完全懂你卡在这儿的点了——你已经能用整个高斯积分的边界得到一个上界，但那个额外的$e^{-2t}$因子确实需要结合一点小技巧来推导，咱们一步步理清楚：

首先，先把原积分的指数拆分开，利用$s^2 = 1 + (s^2 - 1)$，可以把积分改写为：
$$
\int_1^\infty e^{-2t s^2} ds = e^{-2t} \int_1^\infty e^{-2t(s2 - 1)} ds
$$

接下来我们要证明的就是$\int_1^\infty e^{-2t(s2 - 1)} ds \leq \sqrt{\pi/(2t)}$，这样就能得到你看到的那个边界了。这里有个简单的思路：

做变量替换$v = s - 1$（$v \geq 0$），那么$s = v + 1$，代入后$s^2 - 1 = (v+1)^2 - 1 = v^2 + 2v$，所以积分变成：
$$
\int_1^\infty e^{-2t(s2 - 1)} ds = \int_0^\infty e^{-2t(v2 + 2v)} dv = \int_0^\infty e^{-2t v^2} \cdot e^{-4t v} dv
$$

现在注意到，对于所有$v \geq 0$和$t > 0$，$e^{-4t v} \leq 1$（因为指数部分是非正的），所以我们可以把这个积分放缩为：
$$
\int_0^\infty e^{-2t v^2} \cdot e^{-4t v} dv \leq \int_0^\infty e^{-2t v^2} dv
$$

而我们已经知道高斯积分的结果：$\int_0^\infty e^{-2t v^2} dv = \frac{1}{2}\sqrt{\pi/(2t)}$，不过如果我们用更宽松的放缩——直接把积分范围扩展到整个实数轴（因为负半轴的高斯积分和正半轴相等），就有：
$$
\int_0^\infty e^{-2t v^2} dv \leq \int_{-\infty}^\infty e^{-2t v^2} dv = \sqrt{\pi/(2t)}
$$

把这些结果串起来，就得到：
$$
\int_1^\infty e^{-2t s^2} ds = e^{-2t} \cdot \left( \int_0^\infty e^{-2t(v2 + 2v)} dv \right) \leq e^{-2t} \cdot \sqrt{\pi/(2t)}
$$

当然，这个边界不是最紧致的（比如用分部积分能得到更紧的$\frac{e^{-2t}}{4t}$），但胜在形式简洁，和原高斯积分的边界结构一致，方便后续推导使用。

如果你想更严谨地关联标准正态分布的上尾概率，也可以做变量替换$u = 2\sqrt{t}s$，把原积分转化为标准正态上尾概率的形式，再利用上尾概率的经典指数上界$P(Z \geq x) \leq e^{-x2/2}$（其中$Z \sim N(0,1)$），同样能得到这个结果。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nap D. Lover