仅利用函子伴随性证明逆像层茎的同构性质

当然可以做到！其实核心思路是结合层的茎与摩天大楼层的Hom函子对应关系，再用伴随函子的性质推导，全程不用涉及逆像层$f^*$的具体构造，完全符合你的要求。

咱们一步步来拆解：

第一步：回忆两个关键的层论小结论 #

首先，层的茎可以通过Hom函子和摩天大楼层联系起来：

• 对拓扑空间$X$上的任意层$\mathscr{F}$，以及任意点$x\in X$，茎$\mathscr{F}x$自然同构于$\operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(X)}(\mathbb{S}_x, \mathscr{F})$。这里$\mathbb{S}_x$是$x$处的摩天大楼层——它的定义很简单：对$X$的开集$U$，$\mathbb{S}_x(U)$是单点集如果$x\in U$，否则是空集。这个同构的直观是：从$\mathbb{S}_x$到$\mathscr{F}$的自然变换，本质就是给每个包含$x$的开集$U$选一个$\mathscr{F}(U)$中的元素，且满足层的相容条件，正好对应$\mathscr{F}_x$里的一个芽。
• 同理，对$Y$上的层$\mathscr{G}$和点$y=f(x)\in Y$，$\mathscr{G}y \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathbb{S}_y, \mathscr{G})$。

第二步：利用伴随函子的性质 #

题目里已经给出$f^* \dashv f_$，也就是对任意$X$上的层$\mathscr{F}$和$Y$上的层$\mathscr{G}$，都有自然同构：
$$\operatorname{Hom}_{\mathrm{Sh}(X)}(f^\mathscr{G}, \mathscr{F}) \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, f*\mathscr{F})$$

现在我们把$\mathscr{F}$取成$X$上的摩天大楼层$\mathbb{S}x$，代入上面的伴随同构：
左边就是$\operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(X)}(f^\mathscr{G}, \mathbb{S}_x)$，根据第一步的结论，它自然同构于$(f^\mathscr{G})_x$。

第三步：计算直接像层$f_*\mathbb{S}_x$ #

接下来看右边$\operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, f\mathbb{S}x)$，我们需要先搞清楚$f\mathbb{S}x$是什么层。根据直接像层的定义（题目里说的“obvious direct image functor”），对$Y$的任意开集$V$：
$$(f\mathbb{S}_x)(V) = \mathbb{S}x(f^{-1}(V))$$
而$\mathbb{S}x(f^{-1}(V))$是单点集当且仅当$x\in f^{-1}(V)$，也就是$f(x)\in V$；否则是空集。这正好就是$Y$上$f(x)$处的摩天大楼层$\mathbb{S}{f(x)}$的定义！所以我们有自然同构$f\mathbb{S}x \cong \mathbb{S}{f(x)}$。

第四步：收尾得到同构 #

把$f_\mathbb{S}x \cong \mathbb{S}{f(x)}$代入右边的Hom函子，就得到：
$$\operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, f\mathbb{S}x) \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, \mathbb{S}{f(x)})$$
再根据第一步的结论，这个式子右边自然同构于$\mathscr{G}{f(x)}$。

把整个链条连起来：
$$(f^\mathscr{G})x \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(X)}(f^\mathscr{G}, \mathbb{S}x) \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, f_*\mathbb{S}x) \cong \operatorname{Hom}{\mathrm{Sh}(Y)}(\mathscr{G}, \mathbb{S}{f(x)}) \cong \mathscr{G}{f(x)}$$

这样就完全通过伴随性和层的基本性质证明了茎的同构，全程没用到$f^*$的具体构造，完美符合你的需求～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者GeometriaDifferenziale