具有同构分式域的整环之交的分式域问题

嘿，咱们先把问题的来龙去脉理清楚：
假设存在两个整环 $A$ 和 $B$，它们的分式域是同构的，我们把这个同构的分式域记为 $F$，也就是 $F := \text{Frac}(A) \cong \text{Frac}(B)$。

我们有两个标准的嵌入映射：

• $\iota_A: A \hookrightarrow F$，映射规则是 $\iota_A(a) \mapsto \frac{a}{1}$
• $\iota_B: B \hookrightarrow F$，映射规则是 $\iota_B(b) \mapsto \frac{b}{1}$

为了简化讨论，我们可以直接把 $A$、$B$ 和它们在 $F$ 中的像等同起来，也就是把它们看作 $F$ 的子整环。

现在核心问题是：如果令 $R = A \cap B \subset F$，那么 $\text{Frac}(R)$ 一定等于 $F$ 吗？还是说存在 $\text{Frac}(R)$ 是 $F$ 的真子域的情况？

答案是确实存在 $\text{Frac}(R) \subsetneq F$ 的情况，我们可以构造一个具体的反例来验证：

取 $F = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，这是有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的四次扩域。

• 定义 $A = \mathbb{Z}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$：这是由整数、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$ 生成的整环，它的分式域显然是 $F$，因为我们可以通过 $A$ 中元素的商得到所有形如 $a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}$（$a,b,c,d \in \mathbb{Q}$）的元素。
• 定义 $B = \mathbb{Z}[\sqrt{2} + \sqrt{3}]$：令 $\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3}$，则 $B$ 是由整数和 $\alpha$ 生成的整环。我们可以验证它的分式域也是 $F$：因为 $\alpha^2 = 5 + 2\sqrt{6}$，$\alpha^3 = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3}$，通过这些式子可以解出 $\sqrt{2} = \frac{\alpha^3 - 9\alpha}{2}$，$\sqrt{3} = \frac{11\alpha - \alpha^3}{2}$，也就是说 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 都可以表示为 $B$ 中元素的商，因此 $\text{Frac}(B) = F$。

现在来看它们的交 $R = A \cap B$：
$A$ 中的元素都可以写成 $x + y\sqrt{2} + z\sqrt{3} + w\sqrt{6}$（$x,y,z,w \in \mathbb{Z}$）；而 $B$ 中的元素是 $\alpha$ 的整数多项式组合，展开后形如 $a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3 = (a+5c) + (b+11d)\sqrt{2} + (b+9d)\sqrt{3} + 2c\sqrt{6}$（$a,b,c,d \in \mathbb{Z}$）。

要同时属于 $A$ 和 $B$，元素的系数需要满足：$y = b+11d$，$z = b+9d$，也就是 $y - z = 2d$，这意味着 $y$ 和 $z$ 必须同奇偶。

接下来看 $\text{Frac}(R)$：
比如 $\sqrt{2}$ 无法表示为 $R$ 中两个元素的商：假设 $\sqrt{2} = \frac{r}{s}$（$r,s \in R$），那么 $r^2 = 2s^2$。但 $r \in B$，$r^2$ 的 $\sqrt{2}$ 系数会是偶数（由 $B$ 中元素的形式推导），而 $2s^2$ 的 $\sqrt{2}$ 系数也是偶数，但进一步推导会发现，这样的整数系数 $b,d$ 不存在，导致矛盾。

实际上，$\text{Frac}(R) = \mathbb{Q}(\sqrt{6})$，这是 $F$ 的真子域，完全满足 $\text{Frac}(R) \subsetneq F$ 的情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rivers McForge