三次方缓动函数及其导数实现正确性验证与速度衔接问题排查

1. 原缓动函数的核心错误 #

你的CubicEaseIn和CubicEaseOut函数本身不符合缓动函数的基本逻辑：缓动函数应让物体从startValue移动到endValue，当currentTime=duration时结果必须等于endValue，但你的原函数此时会得到endValue + startValue，完全偏离预期。

修正后的基础缓动函数 #

// 三次方缓入：从startValue开始，加速向endValue移动
public static float CubicEaseIn(float currentTime, float startValue, float endValue, float duration)
{
    float t = currentTime / duration;
    // 标准公式：起始值 + (目标差值) * 缓动因子
    return startValue + (endValue - startValue) * t * t * t;
}

// 三次方缓出：从startValue开始，减速向endValue移动
public static float CubicEaseOut(float currentTime, float startValue, float endValue, float duration)
{
    float t = currentTime / duration;
    // 标准公式：起始值 + (目标差值) * (1 - (1-t)^3)
    float easedT = 1 - (1 - t) * (1 - t) * (1 - t);
    return startValue + (endValue - startValue) * easedT;
}

2. 导数函数的错误分析与修正 #

速度是位移函数对时间的导数，需注意两点：

• 常数项（startValue）的导数为0，导数函数中不应包含startValue
• 必须正确应用复合函数求导的链式法则

修正后的CubicEaseInD（缓入速度） #

原位移函数为f(t) = startValue + (endValue - startValue) * (t/d)^3，求导得：
f’(t) = (endValue - startValue) * 3*(t/d)^2 * (1/d) = 3*(endValue - startValue)*t² / d³

对应代码：

public static float CubicEaseInD(float currentTime, float startValue, float endValue, float duration)
{
    float t = currentTime / duration;
    // 链式法则求导，需除以duration
    return 3 * (endValue - startValue) * t * t / duration;
}

用你给出的参数测试：currentTime=3、startValue=0、endValue=1.5、duration=3，代入得结果1.5，符合预期——缓入结束时速度为1.5单位/秒，线性运动3秒的移动距离为1.5*3=4.5个卷轴长度，完美衔接速度。

修正后的CubicEaseOutD（缓出速度） #

原位移函数为f(t) = startValue + (endValue - startValue)*(1 - (1-t/d)^3)，求导得：
f’(t) = (endValue - startValue)*3*(1-t/d)^2*(1/d)

对应代码：

public static float CubicEaseOutD(float currentTime, float startValue, float endValue, float duration)
{
    float t = currentTime / duration;
    float oneMinusT = 1 - t;
    return 3 * (endValue - startValue) * oneMinusT * oneMinusT / duration;
}

3. 老虎机场景验证 #

修正后，缓入阶段结束速度为1.5单位/秒，线性运动3秒的移动距离为4.5个卷轴长度，完全匹配你“速度衔接、匀速运动”的需求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Programmer9000