求线性变换L在指定基下的关联矩阵

别慌！还有两天考试完全来得及搞懂这个点，我一步步给你讲清楚～

首先得明确核心逻辑：不管线性变换是从多少维到多少维，求关联矩阵的本质都是一样的——把定义域基向量的像，用值域的基展开，展开的系数就是矩阵的每一列。这里L是从ℝ²到ℝ³，所以最终矩阵是3行2列的（值域维度×定义域维度）。

我们一步步来算：

步骤1：计算定义域基向量在L下的像 #

首先处理B基里的第一个向量u₁=(1,2)，代入L的定义：
L(u₁) = L(1,2) = (2, 1+2, 1-2) = (2, 3, -1)

然后处理第二个基向量u₂=(3,1)：
L(u₂) = L(3,1) = (1, 3+1, 3-1) = (1, 4, 2)

步骤2：把每个像用值域的D基线性表示，解出系数 #

D基是v₁=(1,0,0)、v₂=(1,1,0)、v₃=(1,1,1)，我们需要把刚才得到的两个像分别写成这三个向量的线性组合，组合系数就是矩阵的列。

处理L(u₁)=(2,3,-1)

设 (2,3,-1) = a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃，代入v的具体值展开：

a₁*(1,0,0) + a₂*(1,1,0) + a₃*(1,1,1) = (a₁+a₂+a₃, a₂+a₃, a₃)

对应分量相等得到方程组：

• 第三个分量：a₃ = -1
• 第二个分量：a₂ + a₃ = 3 → 代入a₃=-1，得a₂=4
• 第一个分量：a₁ + a₂ + a₃ = 2 → 代入a₂=4、a₃=-1，得a₁=-1
  所以L(u₁)在D基下的坐标是(-1,4,-1)，这是矩阵的第一列。

处理L(u₂)=(1,4,2)

同样设 (1,4,2) = b₁v₁ + b₂v₂ + b₃v₃，展开后对应分量相等：

(b₁+b₂+b₃, b₂+b₃, b₃) = (1,4,2)

解方程组：

• 第三个分量：b₃=2
• 第二个分量：b₂ + 2 = 4 → b₂=2
• 第一个分量：b₁ + 2 + 2 = 1 → b₁=-3
  所以L(u₂)在D基下的坐标是(-3,2,2)，这是矩阵的第二列。

步骤3：拼接列得到最终矩阵 #

把这两个列按顺序放好，就是L在B和D基下的关联矩阵：

[-1  -3]
[4   2]
[-1  2]

再给你捋一遍原理：这个矩阵M满足一个核心等式——对于ℝ²里的任意向量x，[L(x)]_D = M * [x]_B，其中[x]_B是x在B基下的坐标向量，[L(x)]_D是L(x)在D基下的坐标向量。对于基向量u₁，它的B坐标是(1,0)，所以M乘(1,0)^T就得到L(u₁)的D坐标，也就是第一列，这就是为什么我们要这么算的原因～

别担心，这个方法不管是同维还是不同维变换都适用，只是矩阵形状不同而已，记住“基向量的像用值域基展开，系数当列”这个核心就没问题啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Leo