三元组变换的可达性判断及变换不变量的验证问询

问题背景 #

给定一个有序数字三元组，我们可以执行这样的操作：挑选其中两个数，比如$a$和$b$，把它们替换成$\frac{a+b}{\sqrt{2}}$和$\frac{a-b}{\sqrt{2}}$。现在我有个问题：能不能从三元组$(2,\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$出发，通过若干次这种操作得到$(1,\sqrt{2},1+\sqrt{2})$？

我的尝试分析 #

我先研究了这个变换的特性：如果对三元组$(a,b,c)$做一次变换，得到的是$\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}},\frac{a-b}{\sqrt{2}},c\right)$；有意思的是，要是对这个新三元组再做一次完全相同的变换，居然又变回了原来的$(a,b,c)$——也就是说这个变换是自逆的，操作两次就等于没操作。

那我先拿初始三元组试了一次变换：
$$(2,\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}) \mapsto \left( \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = (\sqrt{2}+1, \sqrt{2}-1,\frac{1}{\sqrt{2}})$$
这个结果和目标三元组$(1,\sqrt{2},1+\sqrt{2})$完全不一样。而且因为变换是自逆的，再操作一次又回到初始状态，好像也没法通过多次操作得到别的结果？

想请教的问题 #

不过我有点拿不准，想确认一下：**“执行两次变换回到原状态”这个性质，能不能作为判断可达性的有效依据？**或者说，我这个思路是不是正确的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Danlo