保加利亚2000年奥林匹克数学问题：剩余三球必含绿球的证明方法问询

问题描述 #

盒子里初始有2000个白球，盒子外有足够多的白、绿、红三种球，允许进行以下操作：

• 用1个绿球替换2个白球
• 用1个绿球替换2个红球
• 用1个白球和1个红球替换2个绿球
• 用1个红球替换1个白球和1个绿球
• 用1个白球替换1个绿球和1个红球

经过有限次上述操作后，盒子里剩下3个球。求证：这三个球中至少有一个是绿球。

我的困惑 #

我一直在尝试解决这个问题，但始终找不到突破口。一开始我觉得可能可以用奇偶性论证，毕竟初始白球数量2000是偶数，但试了之后发现走不通。

后来我又想，或许可以考虑某种模m不变量——也就是不管怎么操作，盒子里的球数或者某种组合数在模某个数下保持不变，但我实在想不出具体是什么不变量。有没有大佬能给我讲讲这类问题可以用哪些思路来解决？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Danlo