关于正弦半角积分代换的介绍与相关疑问

如果你正在学习积分微积分，大概率已经接触过——或者很快就会遇到——大名鼎鼎的魏尔斯特拉斯代换。它用来把含有三角函数的有理表达式，转化成关于$t=\tan{\frac{1}{2}x}$的普通有理表达式，实用性拉满，通用变换公式是：

$$\int f(\sin{x},\cos{x}),dx = \int f\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t2}\right)\frac{2dt}{1+t^2}.$$

今天我想分享另一种代换，它可以作为魏尔斯特拉斯代换的“搭档”：针对某些三角函数有理式，它能转化出比魏尔斯特拉斯代换更简洁的普通有理式。比如当被积函数的分子或分母里带有$\sin{x}$的公线性因子时，这个代换会格外好用。它的通用变换公式如下：

$$\int f(\sin{x},\cos{x}),dx = \int f(2\sqrt{s-s^2}, 1-2s)\frac{ds}{\sqrt{s-s^2}}.$$

这里的$s=\sin^2{\frac{1}{2}x}$。

推导过程 #

借助二倍角公式和勾股恒等式，我们可以一步步推导出变量替换关系：

首先是$\sin{x}$的转化：
$$\sin{x}=2\sin{\frac{1}{2}x}\cos{\frac{1}{2}x}=2\sin{\frac{1}{2}x}\sqrt{1-\sin^{2{\frac{1}{2}x}}=2\sqrt{\sin}2{\frac{1}{2}x}-\sin^{4{\frac{1}{2}x}}=2\sqrt{s-s}2},$$

然后是$\cos{x}$的转化：
$$\cos{x}=1-2\sin^2{\frac{1}{2}x}=1-2s.$$

最后看$dx$与$ds$的关系：因为$s=\sin^2{\frac{1}{2}x}$，根据求导法则可得：
$$ds=\sin{\frac{1}{2}x}\cos{\frac{1}{2}x},dx=\frac{\sin{x}}{2},dx,$$
整理一下就得到：
$$dx=\frac{ds}{\sqrt{s-s^2}}.$$

示例1 #

应用这个正弦半角代换并化简后，我们来看这个积分：
$$\int \frac{\sin{x}}{\sin^2{x}+2\cos{x}},dx=\int \frac{1}{1-2s^2},ds.$$

利用标准积分公式计算：
$$\int \frac{1}{1-2s^{2},ds=\frac{\tanh}{-1}{(\sqrt{2}s)}}{\sqrt{2}}+C=\frac{\tanh^{{-1}{(\sqrt{2}\sin}2{\frac{1}{2}x})}}{\sqrt{2}}+C.$$

对比用魏尔斯特拉斯代换或者其他解法得到的结果（两种解法其实是等价的），这个代换的简洁优势一下子就体现出来了。

示例2 #

再看另一个例子，应用正弦半角代换后：
$$\int \frac{1}{\sin^3{x}},dx=\frac{1}{8}\int \frac{1}{(s-s²⁾2},ds.$$

接下来用部分分式分解展开被积函数：
$$\frac{1}{8}\int \frac{1}{(s-s²⁾2},ds=\frac{1}{8}\int \left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}-\frac{2}{s-1}+\frac{1}{(s-1)}2}\right),ds=\frac{1}{4}\ln{\left|\frac{s}{1-s}\right|}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{1-s}-\frac{1}{s}\right)+C.$$

把$s$换回$\sin^2{\frac{1}{2}x}$：
$$\frac{1}{8}\int \frac{1}{(s-s²⁾2},ds=\frac{1}{4}\ln{\left|\tan^{2{\frac{1}{2}x}\right|}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{\cos}2{\frac{1}{2}x}}-\frac{1}{\sin^{2{\frac{1}{2}x}}\right)+C=\frac{1}{2}\left(\ln{|\tan{\frac{1}{2}x}|}-\frac{\cos{x}}{\sin}2{x}}\right)+C.$$

当然，这个积分也可以用分部积分法来解，但代换法的思路显然更直接。

最后我有个疑问：这个正弦半角积分代换是不是已经是广为人知的方法了？至少我在网上还没找到相关的资料。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emmanuel José García