关于陶哲轩《分析I》习题3.1.2的快速证明逻辑严谨性问询

这是陶哲轩《分析I》里的习题3.1.2，原题表述如下：

Exercise 3.1.2. 仅使用公理3.2、3.1、3.3和3.4，证明集合$\emptyset$, ${\emptyset}$, ${{\emptyset}}$, 和 ${\emptyset, {\emptyset}}$两两互不相等（即任意两个都不相等）。

题目涉及的公理 #

• 公理3.1（集合是对象）：如果$A$是集合，那么$A$也是一个对象。特别地，给定两个集合$A$和$B$，询问$A$是否是$B$的元素是有意义的。
• 公理3.2（集合相等）：两个集合$A$和$B$相等（记作$A = B$），当且仅当$A$的每个元素都是$B$的元素，且$B$的每个元素都是$A$的元素。换句话说，$A = B$等价于：对任意元素$x$，若$x \in A$则$x \in B$，且若$x \in B$则$x \in A$。
• 公理3.3（空集）：存在一个集合$\emptyset$，称为空集，它不含任何元素，即对任意对象$x$，都有$x \notin \emptyset$。
• 公理3.4（单元素集与双元素集）：如果$a$是一个对象，那么存在一个集合${a}$，它唯一的元素是$a$，即对任意对象$y$，$y \in {a}$当且仅当$y = a$；我们称${a}$为以$a$为元素的单元素集。此外，如果$a$和$b$是对象，那么存在一个集合${a, b}$，它仅有的元素是$a$和$b$，即对任意对象$y$，$y \in {a, b}$当且仅当$y = a$或$y = b$；我们称这个集合为由$a$和$b$构成的双元素集。

我的思路与尝试证明 #

其实我能直观地理解这些集合为啥两两不等：空集啥元素都没有，其他三个都有元素；剩下的几个集合元素也不一样，显然不满足公理3.2的相等条件。但真要写严谨的证明时，我就犯难了，于是尝试了一个“快速证明”：

1. 先证$\emptyset$和另外三个集合不等：假设${\emptyset}$、${{\emptyset}}$、${\emptyset,{\emptyset}}$中任意一个等于$\emptyset$，但根据公理3.4，$\emptyset \in {\emptyset}$、${\emptyset} \in {{\emptyset}}$、$\emptyset \in {\emptyset,{\emptyset}}$，可公理3.3说空集没有元素，这就直接矛盾了，所以$\emptyset$肯定和另外三个都不相等。
2. 再证${\emptyset}$和其他集合不等：根据公理3.4，${\emptyset}$里只有$\emptyset$这一个元素。既然已经证明$\emptyset$和${{\emptyset}}$、${\emptyset,{\emptyset}}$都不等，那我想根据替换公理（这里是不是误用了？），${\emptyset}$和这两个集合也应该不等。
3. 同理证${{\emptyset}}$和剩下的集合不等，最后剩下的${\emptyset,{\emptyset}}$自然就和其他所有集合都不等了。

但我总觉得这个证明特别“潦草”，尤其是最后那句“最后剩下的集合自然也和其他集合不等”，怎么想都觉得不严谨，但又说不出具体哪里有问题。

补充说明 #

一开始我想找个更简洁的快速证明，但没成功。我不是要一个标准的证明（标准证明可以看相关回答），就是想确认我这个尝试的快速证明逻辑上有没有漏洞，特别是那些我感觉不对劲的地方。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric