关于对任意$f\in L^{1}(\mathbb{R})$，$\lim_{n\to\infty} \int_0^2 f(x) \sin(x^n)=0$的证明疑问
嘿，我来帮你理清楚这里用阶梯函数密度推导的逻辑哈！
首先咱们先回顾下已经完成的铺垫：
- 对于$x\in[0,1)$，$\sin(xn)$会趋于0，而且$|f(x)\sin(xn)| \leq |f(x)|$，而$|f(x)|$属于$L^1(\mathbb{R})$，所以根据控制收敛定理（LDCT），可以直接得出：
$$\lim_{n\to\infty} \int_{0}{1}f(x)\sin(x{n})=0$$ - 所以现在问题就简化成只需要证明$[1,2]$区间上的积分极限也是0就行。
接下来重点说为什么阶梯函数的稠密性能帮我们推导任意$f\in L^1(\mathbb{R})$的情况：
首先，$L^1(\mathbb{R})$中阶梯函数的稠密性是指：对任意$f\in L^1(\mathbb{R})$，不管你想要多小的$\epsilon>0$，总能找到一个阶梯函数$g$（也就是有限个区间指示函数的线性组合，比如$g(x)=\sum_{k} c_k \mathbf{1}{[a_k,b_k]}(x)$），使得$|f - g|{L^1} = \int_{\mathbb{R}} |f(x)-g(x)|dx < \epsilon$。
我们可以把$[1,2]$上的积分拆成两部分来分析：
$$\left| \int_1^2 f(x)\sin(x^n)dx \right| = \left| \int_1^2 [f(x)-g(x)]\sin(x^n)dx + \int_1^2 g(x)\sin(x^n)dx \right|$$
根据三角不等式，这个绝对值必然小于等于：
$$\int_1^2 |f(x)-g(x)|\cdot|\sin(x^n)|dx + \left| \int_1^2 g(x)\sin(x^n)dx \right|$$
咱们分别看这两部分：
- 第一部分：因为$|\sin(x^n)| \leq 1$，所以这部分的上限就是$\int_1^2 |f(x)-g(x)|dx$，而根据稠密性，这个积分小于$\epsilon$；
- 第二部分：因为$g$是阶梯函数，是有限个指示函数的线性组合，所以积分可以拆成有限个项的和：$\int_1^2 g(x)\sin(x^n)dx = \sum_{k} c_k \int_1^2 \mathbf{1}{[a_k,b_k]}(x)\sin(x^n)dx$。如果我们已经证明了**每个区间指示函数$\mathbf{1}{[a,b]}$对应的积分极限都是0**，那有限个收敛到0的项的和，极限也必然是0。也就是说，当$n$足够大时，这部分的绝对值也会小于$\epsilon$。
把两部分合起来，当$n$足够大时：
$$\left| \int_1^2 f(x)\sin(x^n)dx \right| < \epsilon + \epsilon = 2\epsilon$$
因为$\epsilon$是任意小的正数，所以我们就可以得出$\lim_{n\to\infty} \int_1^2 f(x)\sin(x^n)dx=0$。
这样就从“阶梯函数的积分极限为0”推广到了“任意$L^1$函数的积分极限为0”啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者John Smith
