三角恒等式sin(x−a)sin(x+a)=sin²x−sin²a的推导方法问询

嘿，我来帮你一步步推导这个实用的三角恒等式，其实用基础的三角公式就能轻松搞定，完全不用查复杂资料～

第一步：推导$\sin(x-a)\sin(x+a) = \sin²x - \sin²a$ #

我们可以用两角和与差的正弦展开式结合平方差公式来推导：
首先回忆基础公式：
$$\sin(x+a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a$$
$$\sin(x-a) = \sin x \cos a - \cos x \sin a$$

把这两个式子相乘，你会发现这正好是平方差的形式$(m+n)(m-n)=m²-n²$：
$$
\begin{align*}
\sin(x+a)\sin(x-a) &= (\sin x \cos a + \cos x \sin a)(\sin x \cos a - \cos x \sin a) \
&= (\sin x \cos a)^2 - (\cos x \sin a)^2 \
&= \sin²x \cos²a - \cos²x \sin²a
\end{align*}
$$

接下来用$\cos²\theta = 1 - \sin²\theta$做替换，把式子中的余弦平方项转换成正弦平方项：
$$
\begin{align*}
&= \sin²x(1 - \sin²a) - (1 - \sin²x)\sin²a \
&= \sin²x - \sin²x \sin²a - \sin²a + \sin²x \sin²a
\end{align*}
$$

你看，中间的$-\sin²x \sin²a$和$+\sin²x \sin²a$会相互抵消，最后就得到：
$$\sin(x-a)\sin(x+a) = \sin²x - \sin²a$$

第二步：推导$\sin²x - \sin²a = \cos²a - \cos²x$ #

这个转换就更简单了，直接用$\sin²\theta = 1 - \cos²\theta$替换两边的正弦平方项：
$$
\begin{align*}
\sin²x - \sin²a &= (1 - \cos²x) - (1 - \cos²a) \
&= 1 - \cos²x - 1 + \cos²a \
&= \cos²a - \cos²x
\end{align*}
$$

顺便说下这个恒等式在你积分里的用法 #

你的积分是$\int\frac{\sqrt{\sin(x−a)}}{\sqrt{\sin(x+a)}}dx$，可以先把被积函数变形：分子分母同乘$\sqrt{\sin(x-a)}$，得到：
$$\int\frac{\sin(x-a)}{\sqrt{\sin(x-a)\sin(x+a)}}dx$$
代入我们推导的恒等式，就可以把分母换成$\sqrt{\sin²x - \sin²a}$或者$\sqrt{\cos²a - \cos²x}$，这样后续换元（比如令$t=\cos x$或者$t=\sin x$）就会方便很多啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者XZCY