特征函数相关不等式的证明问询

大家好，我现在遇到一个特征函数相关的不等式证明问题，想请各位帮忙看看怎么推进。问题是这样的：

已知随机变量$X$的密度函数为$f_X(x)=|x|^{-3} \mathbb{1}_{|x|\geq1}$，$\phi_X(t)$是它的特征函数，需要证明对任意$t \in [-1,1]$，有：
$$|\phi_X(t)-1-t^2 \log|t|| \leq 3t^2$$

我目前已经做了这些推导：
因为$X$的分布是对称的，所以特征函数对任意$t$都是实数，由此可得：
\begin{align*}
1-\phi_X(t)
&=1- \int_{\mathbb{R}} e^{itx} f(x)dx \
&=1-\int_{\mathbb{R}} \cos(tx) f(x)dx \
&= \int_{\mathbb{R}} f(x)dx-\int_{\mathbb{R}} \cos(tx) f(x)dx \
&=2\int_1^{\infty} \frac{1-\cos(tx)}{x^3} dx \
&\stackrel{y=|t|x}{=} 2|t|^2 \int_{|t|}^{\infty} \frac{1-\cos y}{y^3} dy
\end{align*}

之后我尝试过利用被积函数非负的性质，得到$\int_{|t|}^{\infty} \frac{1-\cos y}{y^3} dy \leq \int_{0}^{\infty} \frac{1-\cos y}{y^3} dy$，然后把积分拆成$[0,\epsilon]$和$[\epsilon,\infty)$两个区间，分别用$y\to0$时$1-\cos(y) \sim y^{2/2$的渐近性质，以及$|1-\cos(y)|$在$[\epsilon,\infty)$上有界（不超过2）来估计，但没得到有用的结果。现在对于式子中的$t}2|\log|t||$项完全没头绪，不知道该怎么把它和积分联系起来，还请各位指点一下。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giannopoulos A.