关于Strauss扩散方程推导中导数转换步骤的疑问

嘿，这个导数转换的小步骤其实是链式法则在偏导数上的应用，我给你一步步拆解清楚：

首先看第一个式子中的偏导数项：$\frac{\partial Q}{\partial x}(x-y,t)$。这里的$Q$是关于两个变量的函数，我们可以把它记作$Q(z, t)$，其中$z = x - y$。

根据链式法则，对$x$求偏导时：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}$$
因为$z = x - y$，$\frac{\partial z}{\partial x} = 1$，所以$\frac{\partial Q}{\partial x}(x-y,t) = \frac{\partial Q}{\partial z}(z,t)$。

接下来看对$y$的偏导：
$$\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}$$
这里$\frac{\partial z}{\partial y} = -1$，所以$\frac{\partial Q}{\partial y}(x-y,t) = -\frac{\partial Q}{\partial z}(z,t)$。

把这两个结果结合起来，就能得到：
$$\frac{\partial Q}{\partial x}(x-y,t) = -\frac{\partial}{\partial y}[Q(x-y,t)]$$

把这个等式直接代入原来的积分式，就得到了你看到的第二个式子：
$$u(x,t) = -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial y}[Q(x-y,t)]\phi(y)dy$$

另外补充一句：Strauss这里没有用到分部积分（虽然分部积分也能得到类似结果），核心就是通过链式法则完成了偏导数变量的转换，前提是$Q$在无穷远处满足趋于0的边界条件（这也是扩散方程基本解的性质），确保后续推导没有问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Moore