关于特定级数和小于1的不等式证明咨询

嘿，我来帮你拆解这个级数不等式的证明过程～

首先，我们要证明的不等式是：
$$\frac13+\frac23\times\frac15+\dots+\frac23\times\frac45\times\dots\times\frac{2n}{2n+1}\times\frac1{2n+3}<1$$

先给这个级数的每一项定义一个方便处理的序列 $U_n$：
$$U_n=\frac1{2n+3}\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}$$

这里补充个小细节：当 $n=0$ 时，乘积部分是空积（也就是1），所以 $U_0=\frac{1}{3}$，正好对应级数的第一项；$n=1$ 时，$U_1=\frac{2}{3}\times\frac{1}{5}$，对应第二项，以此类推，题目里的级数和其实就是 $\sum_{k=0}^n U_k$，我们的目标就是证明这个和小于1。

接下来是关键的已知恒等式：
$$1-\sum_{k=0}^{n}U_k=(2n+5)U_{n+1}$$

现在看这个等式的右边：因为 $U_{n+1}$ 是由一堆正数相乘再乘以正数得到的，所以 $U_{n+1}>0$，而 $2n+5$ 显然也是正数，因此右边的整体是正数。

那我们把这个恒等式变形一下就能得到：
$$\sum_{k=0}^n U_k = 1 - (2n+5)U_{n+1}$$

既然右边的 $(2n+5)U_{n+1}$ 是正数，那 $1$ 减去一个正数肯定小于1，也就是：
$$\sum_{k=0}^n U_k < 1$$

这样就完美证明了题目中的不等式啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mostafa