关于可测函数（Measurable functions）相关引理中集合运算表述的疑问

嘿，我完全懂你的困惑！在学习可测函数的等价条件引理时，(c)和(d)的集合并、交转换确实一开始容易绕晕——我当年第一次学的时候也卡在这里好久，给你一步步拆解清楚：

首先先明确我们通常讨论的这个引理里的四个核心命题：

• (a) 对任意实数a，集合{x | f(x) > a}是可测集
• (b) 对任意实数a，集合{x | f(x) ≥ a}是可测集
• (c) 对任意实数a，集合{x | f(x) < a}是可测集
• (d) 对任意实数a，集合{x | f(x) ≤ a}是可测集

你已经搞懂(a)推(b)的逻辑，那我们重点说(c)和(d)怎么用并、交来表示：

拆解(c)：{x | f(x) < a}的集合运算表达 #

我们可以从“实数的稠密性”角度来想：如果一个数f(x)严格小于a，那一定存在某个正整数n，使得f(x) ≤ a - 1/n（比如n取足够大，让1/n小于a和f(x)的差）。反过来，如果存在这样的n，那f(x)肯定严格小于a。

把这个逻辑转换成集合语言，就是用可数并集来表示：
{x | f(x) < a} = ⋃ₙ=1^∞ {x | f(x) ≤ a - 1/n}
如果我们已经知道(d)中的集合都是可测集，那可数个可测集的并集依然是可测集，这样就能推出(c)成立。

另外还有个更直接的视角：{x | f(x) < a}其实是{x | f(x) ≥ a}的补集，而{x | f(x) ≥ a}本身可以写成⋂ₙ=1^∞ {x | f(x) > a - 1/n}（这就是(a)推(b)的核心转换），不过前者的可数并写法是证明(c)可测性的关键步骤。

拆解(d)：{x | f(x) ≤ a}的集合运算表达 #

同样用实数的稠密性来推导：如果f(x) ≤ a，那对任意正整数n，f(x)肯定小于a + 1/n（因为a + 1/n比a大一点点）；反过来，如果f(x)对所有正整数n都满足f(x) < a + 1/n，那它绝对不可能大于a（不然会存在某个n，让a + 1/n < f(x)，矛盾），所以只能≤a。

转换成集合语言，就是用可数交集来表示：
{x | f(x) ≤ a} = ⋂ₙ=1^∞ {x | f(x) < a + 1/n}
要是(c)中的集合都是可测集，那可数个可测集的交集也还是可测集，这样就能推出(d)成立。

说白了，这些转换的核心是利用可测集对可数并、可数交的封闭性，把我们不熟悉的集合转化成已经知道可测的集合，从而完成等价性的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Awaah Simon