n×n矩阵空间中前m个最大奇异值之和能否作为范数？（仅需三角不等式证明）

嘿，太巧了！我之前在工作里推导小结论的时候也碰到过一模一样的困惑——既然已经知道最大奇异值、所有奇异值之和都能作为n×n矩阵空间的范数，那前m个最大奇异值的和应该也符合对吧？没错，它确实是一个矩阵范数，而你要的三角不等式证明，我给你一步步理清楚：

首先，我们先明确符号：对任意n×n矩阵X，记它的前m个最大奇异值为$\sigma_1(X)\geq\sigma_2(X)\geq\cdots\geq\sigma_m(X)$，我们要证的核心不等式是：
$$\sum_{i=1}^m \sigma_i(A+B) \leq \sum_{i=1}^m \sigma_i(A) + \sum_{i=1}^m \sigma_i(B)$$
对任意n×n矩阵A、B都成立。

这里要用到奇异值的一个核心极值性质：前k个奇异值的和等于所有n×k正交矩阵U、V下，$\text{tr}(U^TXV)$的最大值，也就是：
$$\sum_{i=1}^k \sigma_i(X) = \max_{\substack{U,V \in \mathbb{R}^{n×k} \ U^TU=I_k, V^TV=I_k}} \text{tr}(U^TXV)$$

把X换成A+B代入这个式子，就有：
$$\sum_{i=1}^m \sigma_i(A+B) = \max_{U,V} \text{tr}(U^T(A+B)V) = \max_{U,V} \left[ \text{tr}(U^TAV) + \text{tr}(U^TBV) \right]$$

接下来，对固定的U、V，$\text{tr}(U^TAV) \leq \sum_{i=1}^m \sigma_i(A)$，$\text{tr}(U^TBV) \leq \sum_{i=1}^m \sigma_i(B)$——这正是前面极值性质的直接推论，因为右边是所有U、V组合下的最大值。所以两者相加的最大值，自然不会超过两个最大值的和：
$$\max_{U,V} \left[ \text{tr}(U^TAV) + \text{tr}(U^TBV) \right] \leq \max_{U,V} \text{tr}(U^TAV) + \max_{U,V} \text{tr}(U^TBV) = \sum_{i=1}^m \sigma_i(A) + \sum_{i=1}^m \sigma_i(B)$$

这样就完美证明了三角不等式！至于范数要求的另外两个条件——正定性（只有零矩阵的前m个奇异值和为0）和齐次性（$\sum_{i=1}^m \sigma_i(cA)=|c|\sum_{i=1}^m \sigma_i(A)$），其实都很容易验证，你既然已经聚焦在三角不等式上，应该这两点也能快速确认～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者谢萧涯