关于不含整除关系的最大整数子集大小的技术咨询

嗨，我来帮你梳理这个问题的解法——我们要找的是不超过n的整数中，不存在任何两个数有整除关系的最大子集的大小。

首先得纠正一下你之前举的n=10的例子：评论里也提到了，这个集合里3能整除6、5能整除10，不符合“没有数整除其他数”的要求哦。

这个问题其实有个经典的构造解法，核心思路是：选择所有大于n/2且不超过n的整数。为什么这个子集满足条件呢？因为对于这个区间里的任意两个数a和b（假设a < b），由于a > n/2，那么2a > n ≥ b，也就是说b不可能是a的倍数，自然不存在整除关系。

这个子集的大小计算起来很直观：

• 当n是偶数时，数量是n/2（比如n=10时，就是6到10，共5个数）
• 当n是奇数时，数量是(n+1)/2（比如n=9时，就是5到9，共5个数）
  统一用数学符号表示的话，就是⌈n/2⌉（n/2向上取整）。

可能你会好奇，有没有可能构造出更大的子集？答案是不行。因为任何小于等于n/2的数，它的两倍必然落在(n/2, n]这个区间里。如果我们把某个小于等于n/2的数加入子集，就必须去掉它对应的倍数，总数并不会增加，甚至可能减少。比如n=10时，要是把3加进来，就得去掉6，子集大小还是5，没法超过我们之前构造的5个元素的子集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Teodor Dyakov