基于多项式方程的希尔伯特空间算子求解：是否存在非投影分解形式的解？

嘿，咱们来好好唠唠这个问题。首先给定的场景是：在无穷维可分希尔伯特空间上，有个算子$X$满足二次方程$X^2 + bX + c = 0$，其中$b,c$都是实数。我们已经知道可以用投影算子分解出$X = pE_p + qE_q$这样的解，现在核心疑问是：有没有不满足这种投影分解形式的其他解？

答案得分两种情况来看，关键在于原二次方程的根$p$和$q$是否相等：

1. 当$p \neq q$（二次方程有两个不同的实根或共轭复根） #

这种情况下，不存在其他形式的解。咱们可以直接推导验证：

• 由$(X - pI)(X - qI) = 0$，且$p≠q$，这两个算子$X-pI$和$X-qI$的核与值域是互补的闭子空间。
• 我们可以构造两个算子：$E_p = \frac{qI - X}{q - p}$，$E_q = \frac{X - pI}{q - p}$。你亲手算一下就会发现，这俩都是标准的投影算子：
  • $E_p + E_q = I$（单位算子），
  • $E_p^2 = E_p$，$E_q^2 = E_q$（幂等性），
  • $E_pE_q = E_qE_p = 0$（正交性）
• 把这两个投影算子代入，就能得到$X = pE_p + qE_q$。也就是说，所有满足原方程的算子都必须是这种投影分解的形式，没有例外。

2. 当$p = q$（二次方程有重根，也就是$b^2 = 4c$） #

这时候情况就完全不同了！原方程简化为$(X - pI)^2 = 0$，这类算子被称为指数为2的幂零算子，而且存在大量不满足投影分解形式的解。

举个直观的例子：取希尔伯特空间为$l^2(\mathbb{N})$（所有平方可和的无穷序列构成的空间），定义移位算子$N$：$N(x_1, x_2, x_3, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$。很明显$N^2 = 0$，因为连续移位两次就把所有元素都移没了。现在令$X = pI + N$，那么$(X - pI)^2 = N^2 = 0$，完全满足原方程。但你会发现，这个$X$根本没法写成$pE_p + qE_q$的形式——毕竟这里$p=q$，硬套的话只能得到$X=pI$，但$X=pI+N$显然不等于$pI$，而且$N$本身也不是投影算子（因为$N^2=0≠N$）。这就是一个典型的非投影分解形式的解。

总结 #

• 若原二次方程有两个不同根：所有解都必须是投影算子的线性组合形式；
• 若原二次方程有重根：存在大量不满足投影分解形式的解，比如上面的移位算子变形例子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TomS