关于反向定向Dehn手术流形的手术系数对应关系的问询

嗨，你的这个问题抓得很准——不管是单纽结的特殊场景，还是一般带框链环的情况，你的猜想完全成立！我来给你拆解清楚：

先看单纽结的特殊情况 #

你已经观察到了L(p,q)的例子，其实这个结论可以推广到任意单纽结：

• 假设M是S³中对纽结K做r-Dehn手术得到的流形，那么反向定向的-M，恰好就是对K做(-r)-Dehn手术得到的流形。
• 原因很直观：Dehn手术的核心是管状邻域的粘合，而反转流形定向会让管状邻域里的经线、纬线定向全部反转，对应的粘合斜率（也就是手术系数）自然就变成了原来的相反数。你提到的L(p,q)例子就是最好的验证：L(p,q)来自- p/q手术，反转定向后的-L(p,q)=L(p,-q)，正好对应p/q手术，完全匹配。

再推广到一般带框链环的情况 #

这个结论同样适用于带框链环的手术：

• 假设M是通过对S³中的带框链环L={K₁,K₂,...,Kₙ}做系数为{r₁,r₂,...,rₙ}的Dehn手术得到的流形，那么反向定向的-M，就是对同一个链环L做系数为{-r₁,-r₂,...,-rₙ}的Dehn手术的结果。
• 本质上，整个流形的定向由每个分支的手术定向共同决定，反转整体定向就相当于把每个分支的手术操作的定向都反过来，反映到手术系数上就是每个系数取反。

总结一下：无论是单纽结还是带框链环，反转Dehn手术流形的定向，等价于对原链环的每个手术系数取反后再做Dehn手术。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user302934