ℝⁿ上光滑函数空间上满足特定性质的线性泛函求解问询

问题内容 #

设 $a\in\mathbb{R}^n$，$C{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 代表 $\mathbb{R}^n$ 上全体无穷可微函数的集合。请找出所有满足以下三条性质的映射 $F:C^{{\infty}(\mathbb{R}}n)\to \mathbb{R}$：

• 可加性：对任意 $f,g\in C^{{\infty}(\mathbb{R}}n)$，都有 $F(f+g)=F(f)+F(g)$；
• 齐次性：对任意实数 $\alpha$ 和 $f\in C^{{\infty}(\mathbb{R}}n)$，都有 $F(\alpha f)=\alpha F(f)$；
• 类莱布尼茨法则：对任意 $f,g\in C^{{\infty}(\mathbb{R}}n)$，都有 $F(fg)=F(f)g(a)+F(g)f(a)$。

我的进展 #

我目前只推导出了一些初步结论：当 $n=1$ 时，$F(f)=f'(a)$ 是满足所有条件的一个例子；另外还证明了所有常数函数 $\alpha\in\mathbb{R}$ 都满足 $F(\alpha)=0$。不过到这里就卡住了，希望能得到一个思路上的提示，不用给完整的解答，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Takamoto Yuji