矩形水箱倾斜后的水深计算正确性验证

问题描述 #

一个宽8m、长12m、高20m的矩形水箱，以8×12的底面平放，装水至高度的30%（即6m）。随后将水箱倾斜，使其一条空间对角线（两个空间对角顶点的连线）垂直于地面。求水箱倾斜后的新水深，即水面距离地面的高度是多少？

你的尝试过程 #

你采用向量投影的思路来计算倾斜后的水深，具体步骤如下：

1. 定义关键向量：
   • 原水箱的空间对角线向量为 $(12, 8, 20)$
   • $V_1 = (0, 0, 6)$：水面中心到原底面中心的距离向量
   • $V_2 = (6, 4, 0)$：原底面中心到水箱最低点的向量
2. 计算空间对角线的单位向量：

   u = \dfrac{(12, 8, 20) }{ \sqrt{ 12^2 + 8^2 + 20^2 } } = \dfrac{1}{\sqrt{38}} (3, 2, 5)
   

3. 合并向量得到水面中心到最低点的向量 $V_1 + V_2 = (6, 4, 6)$，将其投影到单位对角线向量上得到新水深：

   d = \dfrac{1}{\sqrt{38}} (3, 2, 5) \cdot (6, 4, 6) = \dfrac{56}{\sqrt{38}} \approx 9.0844 \text{ m}
   

正确性验证 #

你的思路和计算完全正确！这里的核心逻辑非常巧妙：

• 水的体积不变，水面始终是平面，其中心（重心）在原坐标系中的位置是固定的——就是原底面中心正上方6m处，坐标为$(6,4,6)$
• 当水箱倾斜至空间对角线垂直地面时，地面是垂直于该对角线的平面，此时水面到地面的距离，本质就是水面中心到水箱最低点（接触地面的顶点）的向量，在空间对角线方向上的投影长度

我们再核对关键计算细节：

• 空间对角线的模长计算：$\sqrt{12²⁺⁸2+20^2} = \sqrt{608} = 4\sqrt{38}$，因此单位向量化简为$\frac{(3,2,5)}{\sqrt{38}}$是完全正确的
• 向量点积计算：$(3×6)+(2×4)+(5×6)=18+8+30=56$，最终结果$\frac{56}{\sqrt{38}}≈9.0844$m的计算没有任何问题

所以你的解法是完全正确的！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user948761