利用Urysohn引理证明映射连续性的拓扑学问题咨询

大家好，我遇到了一个拓扑学里的连续性证明问题，想请教一下各位大佬。问题是这样的：

假设$X,Y$是拓扑空间，其中$Y$是$T_4$空间。设$f:X \to Y$满足：对所有连续函数$g:Y \to \mathbb{R}$，复合函数$g \circ f:X \to \mathbb{R}$都是连续的。证明$f$是连续的。

我的尝试过程 #

我一开始是这么思考的：

• 取$Y$中的非平凡闭子集$A$，那么$Y-A$是$Y$中的非空开集，所以存在$y \in Y-A$。
• 因为$Y$是$T_4$空间，单点集${y}$是闭集，根据$T_4$空间的正规性，存在开集$U \subset Y$使得${y} \subset U \subset \overline{U} \subset Y-A$。
• 此时$\overline{U}$和$A$是$Y$中不相交的非空闭子集，再用Urysohn引理，存在连续函数$g: Y \to I=[0,1]$，满足$A \subset g^{-1}({0})$，$\overline{U} \subset g^{-1}({1})$。
• 根据题设，$g \circ f$是连续的，而${0}$在$\mathbb{R}$中是闭集，所以$(g \circ f)^{-1}({0}) = f^{-1}(g{-1}({0})) \subset f^{{-1}(A)$是闭集。但这好像不足以证明$f}{-1}(A)$是闭集，我是不是方向对了但还差一步？希望能得到大家的帮助。

解答思路 #

其实你的思路方向是对的，只是需要调整一下切入点——证明$f$连续等价于证明$f$把$Y$中的闭集拉回成$X$中的闭集（这是连续映射的等价刻画：开集原像为开集，闭集原像为闭集）。我们可以从这个等价条件入手完善证明：

假设$A$是$Y$中的任意闭集，我们要证$f^{-1}(A)$是$X$中的闭集。当$A=Y$或$A=\emptyset$时结论显然成立，所以只考虑非平凡闭集$A$。

对于任意$x \notin f^{-1}(A)$，即$f(x) \notin A$。因为$Y$是$T_4$空间，${f(x)}$和$A$是不相交的闭集，根据Urysohn引理，存在连续函数$g: Y \to [0,1]$，使得$g(A)={0}$且$g(f(x))=1$。

根据题设，$g \circ f$是连续的，那么$(g \circ f)^{-1}((1/2, 1])$是$X$中的开集，而且$x$属于这个开集（因为$g(f(x))=1$）。同时，对于任意$z \in f^{-1}(A)$，$g(f(z))=0$，所以$z$不属于$(g \circ f)^{-1}((1/2, 1])$，也就是说：
$$x \in (g \circ f)^{-1}((1/2, 1]) \subset X \setminus f^{-1}(A)$$

这就说明$X \setminus f^{{-1}(A)$是开集（它的每个点都有开邻域包含于其中），因此$f}{-1}(A)$是闭集。由$A$的任意性，$f$是连续映射。

你之前的思路其实可以衔接过来：你得到了$f^{-1}(g{-1}({0}))$是闭集，但关键是要针对每个不在$f^{{-1}(A)$里的点，找到这样的$g$来构造它的开邻域，从而证明$f}{-1}(A)$的补集是开集，这和上面的核心逻辑是一致的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者RatherAmusing