关于商空间X的T₁/T₂分离性及商映射连续性的拓扑学问题

问题背景 #

设 $Q=[0,1]\times[0,1]\subset \mathbb{R}^2$，定义等价关系 $\sim$：
$$(x,y)\sim (x',y')\iff (x,y)=(x',y'),; (x',y')=(x,1-y),;x\neq 0.$$
令 $\pi: Q\to Q/\sim := X$ 为商投影，$X$ 赋予商拓扑，$Q$ 赋予欧氏诱导拓扑。需要证明：$X$ 是 $T_1$ 空间但不是 $T_2$ 空间。

我的疑问 #

1. 证明 $X$ 满足第一分离公理（$T_1$），我认为只需证明单点集是闭集。取 $[(x,y)]\in X$，则 $\pi^{-1}([(x,y)])={(x,y),(x,1-y)}$，这是两个闭集的并，所以是闭集。但这个推论成立的前提是 $\pi$ 连续？另外，$Q$ 作为 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，是不是天然就是 $T_1$ 的？
2. 商投影 $\pi$ 是不是总是连续的？还是说因为 $X$ 赋予了商拓扑，所以它一定连续？
3. 证明 $X$ 不是 $T_2$ 空间：我知道豪斯多夫空间的商空间不一定是豪斯多夫的，但不知道该用一般方法还是找两个无法分离的具体点。主要困惑在于不清楚 $X$ 中的开集结构。尝试用反证法：假设存在 $X$ 中不交开集 $U,V$，则 $\pi^{-1}(U\cap V)$ 是 $Q$ 中的开集，但不知道怎么推导矛盾，卡住了。

解答 #

关于 $X$ 是 $T_1$ 空间的证明 #

首先，$Q$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的子空间，欧氏空间本身是 $T_2$（豪斯多夫）空间，而 $T_2$ 空间的子空间必然是 $T_1$ 的，所以 $Q$ 里的单点集都是闭集，这点不用额外证明。

然后你担心的商投影连续性问题：只要 $X$ 用的是商拓扑，$\pi$ 就一定连续——这是商拓扑的定义决定的：$X$ 里的子集 $U$ 是开集当且仅当 $\pi^{-1}(U)$ 是 $Q$ 里的开集，这直接满足连续映射的定义（开集的原像仍是开集），所以 $\pi$ 的连续性是商拓扑的自带属性，不用额外验证。

回到单点集的闭性：

• 当 $x=0$ 时，$\pi^{-1}([(0,y)])$ 就是单点集 ${(0,y)}$，本身是 $Q$ 里的闭集；
• 当 $x\neq0$ 时，$\pi^{-1}([(x,y)])={(x,y),(x,1-y)}$，是两个闭单点集的并，自然也是闭集。

根据商拓扑的闭集判定规则：$X$ 中的子集 $A$ 是闭集当且仅当 $\pi^{-1}(A)$ 是 $Q$ 中的闭集。所以 $X$ 里的任意单点集都是闭集，这就证明了 $X$ 是 $T_1$ 空间。

关于商投影的连续性 #

没错，商拓扑的核心定义就是让商投影 $\pi$ 连续——我们构造 $X$ 的拓扑时，就是把所有“原像是 $Q$ 中开集”的子集定义为 $X$ 的开集，这直接满足了连续映射的要求。而且商投影不仅连续，还是满射，这是商空间构造的基本性质。

证明 $X$ 不是 $T_2$ 空间 #

找两个具体的点来构造矛盾会更直观，不用纠结一般方法。我们看 $X$ 中的两个点：$[(0,0)]$ 和 $[(0,1)]$——因为 $x=0$ 时等价关系只有自身相等，所以这是 $X$ 中两个不同的点。

假设存在 $X$ 中不交的开集 $U,V$，使得 $[(0,0)]\in U$，$[(0,1)]\in V$。根据商拓扑的定义，$\pi^{-1}(U)$ 和 $\pi^{-1}(V)$ 是 $Q$ 中的开集，且：

• $(0,0)\in\pi^{{-1}(U)$，$(0,1)\in\pi}{-1}(V)$；
• $\pi^{{-1}(U)\cap\pi}{-1}(V)=\emptyset$（因为 $U$ 和 $V$ 不交，原像的交集也必然为空）。

因为 $(0,0)$ 在 $\pi^{-1}(U)$ 这个开集里，根据欧氏子空间的开集性质，存在一个小矩形邻域 $[0,\epsilon)\times[0,\epsilon)\subset\pi^{-1}(U)$（$\epsilon>0$ 足够小）。同理，$(0,1)$ 在 $\pi^{-1}(V)$ 里，存在小矩形邻域 $[0,\delta)\times(1-\delta,1]\subset\pi^{-1}(V)$（$\delta>0$ 足够小）。

取 $\gamma=\min(\epsilon,\delta)$，看直线 $x=\gamma/2$（$x\neq0$）：点 $(\gamma/2, \gamma/2)$ 属于 $\pi^{-1}(U)$，它的等价点是 $(\gamma/2, 1-\gamma/2)$。因为等价类 $[(\gamma/2, \gamma/2)]$ 在 $U$ 里，所以 $(\gamma/2, 1-\gamma/2)$ 必然属于 $\pi^{-1}(U)$。

但另一方面，$(\gamma/2, 1-\gamma/2)$ 落在 $[0,\gamma)\times(1-\gamma,1]$ 里，也就是属于 $\pi^{-1}(V)$。这就导致 $(\gamma/2,1-\gamma/2)\in\pi^{{-1}(U)\cap\pi}{-1}(V)$，和我们之前假设的交集为空矛盾。

所以不存在这样的不交开集 $U,V$，$X$ 不是 $T_2$ 空间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Turquoise Tilt