关于伴随映射（Adjoint map）与$V \cong V^{**}$的技术疑问

我在看完这段内容后有点懵：

Note that the adjoint of a bilinear form $B:V\rightarrow V^{}$ would have the same type $B^{}:V\rightarrow V^{}$ (adjoint map) (using $V^{**} \cong V$ ). Only for bilinear forms, we can compare $B$ with $B^{}$ as they are objects of the same type.

第一个搞不懂的点是，这里的Type到底指什么？

还有关于$V^{} \cong V$的问题，我知道这个同构是“在同构意义下相等”，但为什么我们可以把$B^{{*}$的定义域从$V}{}$替换成$V$呢？毕竟$V$里的元素是向量，而$V^{{**}$里的元素是把余向量映射成标量的函数啊！把定义域换成元素性质完全不同的集合，居然不会影响$B}{*}$？同构确实能保留代数结构，但这里我们是把输入的对象换成了完全不同的东西，这怎么会对映射没有影响呢？我实在想不出一个具体的例子能说明这种替换是无关紧要的。

目前社区的回复还没能给我一个满意的答案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FreeMind