关于Gumbel分布与正态分布相关积分的求解咨询

嘿，我最近在尝试求解下面这个形式的积分：

$$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x2} , e^{-e{-x^2}} dx $$

凭直觉来看，积分里的第一个项 $e^{-x2}$ 和标准正态分布的概率密度函数有关联，而第二个项 $e^{-e{-x^2}}$ 则和Gumbel分布的概率密度函数相关（只是多了个平方项的差异）。

我已经把这个函数画出来看过了，看起来积分应该是收敛的，但至今还没找到解析解。如果有人能给我一些求解这个积分的思路提示，我会非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者max1993