求满足给定条件的V₃→V₃显式线性变换

嘿，我来帮你梳理这个问题～首先你自己找到的那个变换完全是可行的！先给你验证一下它确实符合题目要求：

验证你给出的变换 #

你给出的变换是：
$$T(x,y,z) = (y+z,3y−z,2y)$$
同时补充了$z=−x+2y$，我们代入题目给出的两个向量看看：

• 对于$(0,1,2)$：$x=0,y=1,z=2$，代入后计算得$(1+2, 31-2, 21)=(3,1,2)$，完全匹配题目要求的$T(0,1,2)$结果；
• 对于$(1,1,1)$：$x=1,y=1,z=1$，代入后得到$(1+1, 31-1, 21)=(2,2,2)$，也完美符合第二个条件。

关于这类问题的通用思路 #

这里需要说明一点：因为题目只给出了两个线性无关向量的变换结果，而三维空间$V_3$的线性变换需要三个线性无关向量的像才能唯一确定，所以实际上存在无穷多个满足条件的线性变换。你找到的这个是其中一种——通过用$x$和$y$表示$z$，相当于给第三个自由度做了限定，从而得到了一个具体的显式形式。

如果要构造其他满足条件的变换，通用步骤大概是这样的：

• 找一个和$(0,1,2)$、$(1,1,1)$都线性无关的向量（比如$(1,0,0)$）；
• 任意指定这个向量在$T$下的像；
• 以这三个向量为基，写出变换的矩阵，再转换为标准基下的显式表达式，就能得到新的满足条件的线性变换。

你找到的这个变换已经很好地满足题目要求啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sandeep