关于“若m,n∈ω是等数的则m=n”证明的两处疑问

先帮你理清第一个疑问：你觉得“假设x和n∪{n}存在双射”是循环论证？其实不是哦——我们要证的命题是**“如果x是自然数且x与n∪{n}等数，那么x=n∪{n}”**，这是一个条件命题。在条件证明里，我们本来就可以先假设前提成立（也就是存在这样的双射），然后基于这个前提去推导结论，这完全是合规的逻辑操作，不是把要证的结论当假设。你可能混淆了“命题的结论”和“证明的前提假设”，这里的双射是命题的前提，不是我们要证的东西~

再来说第二个疑问：

• 为什么要证x∩n=n？因为n∪{n}的本质是“所有小于等于n的自然数”，结构上就是n的全部元素加上n本身。如果我们能证明x∩n=n，就说明x包含了n的所有元素，再加上已知的n∈x，结合x⊆n∪{n}的条件，就能直接得出x=n∪{n}——毕竟x的元素只能是n或者n的元素，现在n的元素全在x里，x又包含n，那x就是n∪{n}本身。
• 那为什么不能直接从x⊆n∪{n}且n∈x推出x∩n=n？举个反例就懂了：比如x={n, 0}，它满足x⊆n∪{n}（因为0∈n）且n∈x，但x∩n={0}≠n。这说明“包含n”+“是n∪{n}的子集”，只能保证x有n，但不能保证x有n的所有元素。所以必须通过双射的条件，结合归纳假设，证明x∩n恰好等于n，才能补全逻辑链。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者laikaka