关于交错群A₄的5维表示中1维子表示存在性的证明正误问询

各位好，我试着证明交错群$A_4$的任意5维表示都存在1维不变子空间，下面是我的推导过程，想请大家帮忙检查有没有逻辑漏洞或者错误，谢谢！

首先，根据群表示论的基本结论：如果$V_1,\dots,V_k$是群$G$的一组两两互不同构的不可约表示的完备集，那么群的阶满足公式：
$$|G|=\sum_{i=1}^k (\dim V_i)^2$$

对于$A_4$来说，它的阶$|A_4|=12$，所以我们可以列出所有满足平方和为12的正整数组合：

• $3²⁺¹2+1²⁺¹2 = 9+1+1+1=12$
• $2²⁺²2+1²⁺¹2+1²⁺¹2 = 4+4+1+1+1+1=12$
• $2^2 + 8\times1^2 = 4+8=12$
• $12\times1^2=12$
• $2²⁺²2+2^2=4+4+4=12$

接下来排除不可能的组合：

• 最后一种（三个2维不可约表示）和倒数第二种（全1维）都不成立：因为$A_4$不是阿贝尔群，所以不可能所有不可约表示都是1维的；同时$A_4$必然存在1维的平凡表示，所以三个2维的组合里没有1维表示，也不符合要求。

由此可以得出，$A_4$的不可约表示的维度只能是以下两种情况之一：

• 仅包含1维和3维的不可约表示
• 仅包含1维和2维的不可约表示

现在考虑任意一个5维表示，它可以分解为若干不可约表示的直和。假设这个5维表示里没有1维不变子空间，也就是它的不可约分解中不包含1维表示，那么只能由2维或3维的不可约表示组成：

• 如果不可约表示只有1维和3维：3的整数倍最多是3（3×1），剩下的2没法用3维表示凑出来；3×2=6已经超过5了，显然不可能。
• 如果不可约表示只有1维和2维：2的整数倍最大是4（2×2），剩下的1没法用2维表示凑出来；2×3=6也超过5了，同样不可能。

所以这个假设不成立，也就是说5维表示的不可约分解里必然包含至少一个1维表示，也就是存在1维不变子空间。

大家能看出我的证明里有什么错误吗？提前感谢各位的指点！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者confused