关于不可约特征标限制到平凡子群所得表示可约性的理解确认

你的理解完全正确！咱们把这个逻辑理得更清晰一点：

首先回顾你笔记里的核心结论：

Restricting any non-linear irreducible character to the trivial subgroup will produce a reducible character

这里的非线性不可约特征标对应的就是度数大于1的不可约表示（特征标的度数等于表示的维数，线性特征标就是度数为1的特征标）。

拿你举的2维不可约表示例子来说：当把它限制到平凡子群${e}$时，群里只有单位元$e$，对应的表示矩阵$\rho(e)=\begin{pmatrix}1&0 \ 0&1\end{pmatrix}$——这个矩阵本身就是两个1维单位矩阵的直和，等价于两个平凡表示（$\rho'(e)=(1)$）的直和。

从特征标的角度看，原不可约特征标$\chi$在$e$处的值是$\chi(e)=2$（等于表示的度数），限制到平凡子群后的特征标$\chi|_{{e}}$在唯一元素$e$处的值还是2。但平凡子群的所有不可约特征标都是度数1的（因为平凡子群是交换群，所有不可约表示都是1维的），所以这个限制后的特征标可以写成两个平凡特征标的和，这直接说明它是可约的——这和你从表示矩阵角度的分析完全一致。

本质上，平凡子群的所有不可约表示都是1维的，所以任何度数大于1的表示（不管原本是不是不可约），限制到平凡子群后必然是多个1维表示的直和，自然就是可约的了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Manó