一维混合边界条件下庞加莱不等式最优常数推导及特征值方法原理咨询

嘿，我来梳理下这个问题的思路：你已经用单侧边界条件$u(0)=0$推导出了一个庞加莱不等式，但常数是$\pi^2/8$，而目标是得到更优的常数1，这时候就需要用到另一个边界条件$u'(\pi/2)=0$了，你提到的特征值方法是关键，我一步步给你拆解：

首先先回顾下你已经完成的推导（仅用$u(0)=0$的情况）：

因为$u(0)=0$，所以可以把$u(x)$表示为积分形式：
$$u(x) = \int_0^x u'(s),ds$$

然后用柯西-Schwarz不等式估计$u^2(x)$：
\begin{align}
u^2(x) & \leq \biggl( \int_0^x u'(s),ds\biggr)^2 \
& \leq x\int_0^x u'(s)^2,ds
\end{align}

接着对$x$从0到$\pi/2$积分，交换积分顺序后得到：
\begin{align}
\int_0^{\pi/2} u^2(x),dx
& \leq \int_0^{\pi/2} \int_0^x xu'(s)^2,ds,dx \
& = \int_0^{\pi/2} \int_s^{\pi/2} xu'(s)^2,dx,ds \
& = \int_0^{\pi/2} \biggl(\frac{\pi^2}{8} - \frac{s^2}{2}\biggr) u'(s)^2,ds \
& \leq \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\pi/2} u'(s)^2,ds
\end{align}

确实，只用$u(0)=0$的话，没法得到常数1，这时候就得用上$u'(\pi/2)=0$这个边界条件，而特征值方法是找最优庞加莱常数的标准操作，原理其实很直观：

为什么特征值问题能给出最优常数？ #

庞加莱不等式的本质是找最小的常数$\lambda$，使得对所有满足边界条件的$C^1$函数$u$（这里是$u(0)=u'(\pi/2)=0$），都有：
$$\int_0^{\pi/2} u(x)^2,dx \leq \lambda \int_0^{\pi/2} u'(x)^2,dx$$

把这个不等式变形一下，就是找最小的$\lambda$，使得：
$$\frac{\int_0^{\pi/2} u(x)^2,dx}{\int_0{\pi/2} u'(x)^2,dx} \leq \lambda$$
对所有非零的满足边界条件的$u$成立。那这个最小的$\lambda$其实就是上述比值的最大值，而根据变分原理，这个最大值正好对应着下面特征值问题的最小特征值的倒数：
$$\begin{cases}
-u'' = \mu u \
u(0)=u'(\pi/2)=0
\end{cases}$$

这里要注意对应关系：我们要找的$\lambda_{\text{min}} = \frac{1}{\mu_{\text{min}}}$，其中$\mu_{\text{min}}$是这个特征值问题的最小特征值。现在我们来解这个特征值问题，看看最小的$\mu$是多少：

解常微分方程$-u'' = \mu u$（即$u'' + \mu u = 0$），分情况讨论：

1. 当$\mu=0$时，解是$u(x)=Ax+B$，代入$u(0)=0$得$B=0$，导数$u'(x)=A$，再代入$u'(\pi/2)=0$得$A=0$，只有零解，所以$\mu=0$不是特征值。
2. 当$\mu<0$时，令$\mu=-\nu^{2$（$\nu>0$），方程的解是$u(x)=Ae}{\nu x}+Be^{-\nu x}$，代入$u(0)=0$得$A+B=0$，即$B=-A$，导数$u'(x)=A\nu(e^{\nu x}+e^{-\nu x})$，代入$u'(\pi/2)=0$，因$e^{\nu x}+e^{-\nu x}$恒大于0，只能$A=0$，只有零解，所以负$\mu$不是特征值。
3. 当$\mu>0$时，令$\mu=\nu^2$（$\nu>0$），方程的解是$u(x)=A\cos(\nu x)+B\sin(\nu x)$，代入$u(0)=0$得$A=0$，解简化为$u(x)=B\sin(\nu x)$，导数$u'(x)=B\nu\cos(\nu x)$，代入$u'(\pi/2)=0$得$\cos(\nu \pi/2)=0$，即$\nu \pi/2 = \frac{\pi}{2} + k\pi$，$k=0,1,2,\dots$

解得$\nu = 1 + 2k$，$k=0,1,2,\dots$，对应的特征值$\mu = \nu^2=(1+2k)2$，最小的特征值就是$k=0$时的$\mu_{\text{min}}=1$。

根据变分原理，这个最小特征值满足：
$$\mu_{\text{min}} = \inf_{\substack{u \in C^1[0,\pi/2] \ u(0)=u'(\pi/2)=0, u\neq0}} \frac{\int_0^{\pi/2} u'(x)^2,dx}{\int_0{\pi/2} u(x)^2,dx}$$

变形后就得到目标不等式：
$$\int_0^{\pi/2} u(x)^2,dx \leq \frac{1}{\mu_{\text{min}}} \int_0^{\pi/2} u'(x)^2,dx = \int_0^{\pi/2} u'(x)^2,dx$$

而且常数1是最优的——当$u(x)=\sin(x)$（对应$k=0$的特征函数）时，等号成立：

• $u(0)=\sin(0)=0$，$u'(x)=\cos(x)$，$u'(\pi/2)=\cos(\pi/2)=0$，满足边界条件；
• 计算积分：$\int_0^{\pi/2} \sin^2(x)dx = \frac{\pi}{4}$，$\int_0^{\pi/2} \cos^2(x)dx = \frac{\pi}{4}$，等号成立，说明这个常数1不能再小了。

总结一下：特征值方法的核心是，庞加莱不等式的最优常数是对应Sturm-Liouville特征值问题最小特征值的倒数，解带边界条件的微分方程就能得到这个最小特征值，同时特征函数还能证明常数的最优性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stephen