关于有限序数α∈ω证明的若干疑问

嘿，我来试着帮你拆解这些疑问，咱们结合序数的基本性质一步步捋清楚：

先把你提到的定理背景放在这里：

(i): 假设$\beta$是无限序数，那么$\omega\leq \beta$且$|\beta^\dagger| = |\beta|$

你的疑问拆解： #

• 疑问1：为什么当$m\not\in \omega$时，$\omega\subseteq n$？以及$m\not\in n$时，$\omega \in n$是怎么来的？
  先回忆序数的两个核心性质：

  1. 序数的三歧性：任意两个序数$a,b$，必然满足$a\in b$、$b\in a$或$a=b$三者之一；
  2. 对于序数来说，$a\in b$等价于$a\subsetneq b$（真子集），而$\omega$是最小的无限序数——所以只要$m\notin\omega$（也就是$m$是无限序数），根据定理(i)的第一部分，$\omega\subseteq m$。

  现在看$m\not\in n$的情况：根据三歧性，要么$n\in m$（也就是$n\subsetneq m$），要么$n=m$。如果是$n\in m$，结合$m$是无限序数，那$n$如果也是无限序数的话，$\omega$作为最小无限序数，必然满足$\omega\subseteq n$；如果$n$是大于$\omega$的无限序数，那$\omega\subsetneq n$，对应序数的性质就是$\omega\in n$。

  你提到的3.4.6定理应该就是在说“无限序数必然包含$\omega$作为子集”，刚好和定理(i)的第一部分呼应。

• 疑问2：关于$n\subseteq m$的类似问题
  逻辑和上面一致：如果$n\subseteq m$，而$m$是无限序数（$m\notin\omega$），分两种情况：

  • 若$n$是无限序数：同样因为$\omega$是最小无限序数，$\omega\subseteq n$；如果$n$严格大于$\omega$，则$\omega\in n$；
  • 若$n$是有限序数（$n\in\omega$）：那$\omega$不可能包含于$n$，但此时$n\in\omega\subseteq m$，所以$n\in m$，这和$n\subseteq m$也不矛盾，只是这种情况可能不在你当前证明的讨论范围内（毕竟证明里大概率假设了$n$也是无限序数）。

• 疑问3：为什么存在从$m^\dagger$到$n$的单射，尤其是已经有$n\subset m^\dagger$了？
  这里要用到定理(i)的第二部分：无限序数$\beta$的$|\beta^{\dagger|=|\beta|$，也就是$m}\dagger$和$m$的基数相同。

  你提到$n\subset m^{\dagger$，但如果$n$和$m$是等势的无限集合（比如$n$也是无限序数，且和$m$基数相同），那即使$n$是$m}\dagger$的真子集，也存在双射（当然也就存在单射）从$m^\dagger$到$n$——这是无限集合的核心特性：无限集合可以和它的某个真子集等势。比如$\omega\subset\omega+1$，但我们能找到双射把$\omega+1$映射到$\omega$，单射自然就存在了。

  所以关键是：只要$|m^{\dagger|=|n|$，不管$n$是不是$m}\dagger$的真子集，都存在单射（甚至双射）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者laikaka