关于陶哲轩《分析1》中命题2.2.13的理解困惑及相关问题咨询

命题2.2.12内容 #

设$a,b,c$为自然数，则：

• (a) $a ≥ a$
• (b) 若$a≥b$且$b≥c$，则$a≥c$
• (c) 若$a≥b$且$b≥a$，则$a=b$
• (d) $a≥b$当且仅当$a+c≥b+c$
• (e) $a<b$当且仅当$a≤b$（其中$a$表示$a$的后继数）
• (f) $a<b$当且仅当存在正自然数$d$使得$b=a+d$

我的理解 #

陶哲轩将相关证明拆分为两部分：

1. 首先证明任意两个自然数$a,b$，三个关系$a<b$、$a=b$、$a>b$中最多只能有一个成立；
2. 然后证明这三个关系中至少有一个成立；
   从而得出结论：任意两个自然数$a,b$，上述三个关系中恰好有一个成立。

在第一部分的证明中，陶哲轩先说明：如果$a<b$成立，那么$a≠b$；同理如果$a>b$成立，那么$a≠b$，这就排除了三个关系同时成立的可能。接下来需要证明任意两个关系也不能同时成立，这部分我有困惑。

我的疑问 #

1. 陶哲轩是如何证明“任意两个关系不能同时成立”的？
2. 书中提到“若$a<b$且$b<a$，则根据命题2.2.12可得$a=b$，这就产生了矛盾”，我完全没理解这个推导：为什么$a<b$且$b<a$能推出$a=b$？矛盾又是怎么来的？
3. 我上面的理解是否正确？希望得到反馈。
4. 有没有不使用陶哲轩书中方法的其他方式来证明这个命题？

解答与说明 #

问题3：先反馈你的理解 #

你的理解完全正确！陶哲轩对自然数三歧性（即任意两自然数恰好满足$a<b$、$a=b$、$a>b$之一）的证明思路就是“先证最多一个成立，再证至少一个成立”，这个拆分逻辑是标准的三歧性证明框架，你抓准了核心思路。

问题1：如何证明任意两个关系不能同时成立 #

我们结合命题2.2.12的结论来拆解：

• 情况1：$a<b$和$a=b$不能同时成立
  根据命题2.2.12(f)，$a<b$意味着存在正自然数$d$使得$b=a+d$。如果此时$a=b$，代入得$a=a+d$，两边减去$a$后会得到$0=d$，但$d$是正自然数（$d≠0$），这就产生了矛盾，所以二者不能共存。
• 情况2：$a>b$和$a=b$不能同时成立
  和上面逻辑完全对称，$a>b$即$b<a$，同样会推出存在正自然数$d$使得$a=b+d$，若$a=b$则$0=d$，与$d$是正自然数矛盾，因此二者也不能共存。
• 情况3：$a<b$和$a>b$不能同时成立
  这就是问题2要解释的部分，我们放在下面详细说明。

问题2：$a<b$且$b<a$为何推出$a=b$，矛盾在哪 #

首先明确定义：$a<b$等价于$b≥a$且$b≠a$；$a>b$等价于$b<a$，也就是$a≥b$且$a≠b$。
当$a<b$且$b<a$时，我们同时拥有两个条件：

1. $b≥a$（来自$a<b$的定义）
2. $a≥b$（来自$b<a$的定义）

这时候直接套用命题2.2.12的(c)：若$a≥b$且$b≥a$，则$a=b$，就能得出$a=b$的结论。但我们一开始假设的是$a<b$（即$a≠b$）和$b<a$（即$b≠a$），现在推出的$a=b$和“$a≠b$”的前提直接冲突——这就是矛盾，因此$a<b$和$b<a$不能同时成立。

问题4：其他证明方法 #

当然有，比如基于皮亚诺公理用数学归纳法直接构造证明：

1. 基例：当$a=0$时，对任意自然数$b$：
   • 若$b=0$，则$a=b$；
   • 若$b≠0$，则$b$是某个自然数的后继（即$b=c++$），根据命题2.2.12(e)，$0<c++$即$a<b$，此时要么$a=b$要么$a<b$，满足三歧性。
2. 归纳假设：假设对自然数$k$，任意自然数$b$都满足三歧性（即$k<b$、$k=b$、$k>b$恰好一个成立）。
3. 归纳步骤：考虑$a=k++$，对任意自然数$b$：
   • 若$b=0$，则$k++>0$即$a>b$；
   • 若$b≠0$，则$b=d++$，根据归纳假设，$k$和$d$满足三歧性：
     • 若$k=d$，则$k++=d++$即$a=b$；
     • 若$k<d$，则$k≤d$（命题2.2.12(e)），所以$k<d++$即$a<b$；
     • 若$k>d$，则$d<k$，同理$d≤k$，所以$d<k++$即$b<a$也就是$a>b$。
       这就完成了归纳，证明了任意自然数$a,b$都满足三歧性。

这种方法直接从皮亚诺公理的后继概念出发，用归纳法覆盖所有自然数，绕开了陶哲轩先拆分“最多一个”“至少一个”的框架，也是很经典的证明思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Afzal