关于可微性等价命题中函数r定义域的技术问询

嘿，这个细节问题问得很到位，我来给你拆解明白～

首先先回顾下你给出的命题：

Proposition. Suppose that $f: (a,b)\to \mathbb{R}$. Then $f$ is differentiable at $c\in (a,b)$ if and only if there exists a constant $A\in\mathbb{R}$ and a function $r: (a-c,b-c)\to\mathbb{R}$ such that $$f(c+h)=f(c)+Ah+r(h), \quad \lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{h}=0.$$ In that case, $A=f'(c)$.

为什么$r$的定义域是$(a-c,b-c)$呢？核心原因是要保证$f(c+h)$有意义：

• 原函数$f$的定义域是开区间$(a,b)$，所以当我们取$h$来构建$c+h$时，这个点必须落在$f$的定义域里，也就是$c+h \in (a,b)$。
• 解这个不等式：$a < c+h < b$，两边同时减去$c$，就得到$a - c < h < b - c$，这就是$h$的合法取值范围。
• 而$r(h)$是和每个合法的$h$对应的函数，它的输入就是这些$h$，所以$r$的自然定义域就是$(a-c,b-c)$。

另外补充一点：这个定义域也确保了当我们讨论极限$\lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{h}=0$时，所有趋近于0的$h$都能让$f(c+h)$有定义，这样整个等式和极限的讨论才是严谨成立的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者psie