椭圆上均匀分布随机变量的独立性与相关性解答验证请求

DevOps 小满

2026-4-22

嘿，我想检查一下我对这个概率问题的解答是否正确，有没有大佬能帮忙看看呀？

随机向量 $X = (X_1, X_2)$ 在椭圆 $S = {(x_1, x_2) ∈ \mathbb{R}^2 : x_1^2 + \frac{1}{4} x_2^2 \leq 1 }$ 上均匀分布，该椭圆的面积为 $2π$。
a. 给出 $X$ 的二维密度函数，并证明 $X_1$ 和 $X_2$ 的边缘密度分别为：
$f_1(z) = \frac{2}{π} \sqrt{1 − z^2 }\mathbf{1}{[−1,1]}(z), \ f_2(z) = \frac{2}{π} \sqrt{4 − z^2} \mathbf{1}{[−2,2]}(z)$。
b. $X_1$ 和 $X_2$ 是否不相关？是否独立？

我的解答情况

我已经完成了问题a的解答，这里主要想请大家帮忙检查问题b的推导是否正确。
对于问题b，我的推导过程如下：
1. 独立性判断：
  已知联合密度函数为 $f(x_1,x_2)=\frac{1}{2π}\mathbf{1}_{x_1^2 + \frac{1}{4} x_2^2 \leq 1}$，我选取了点 $x_1=\frac{1}{2}, x_2=1$，代入计算后发现 $f(x_1,x_2)\neq f(x_1)f(x_2)$，因此可以判断 $X_1$ 和 $X_2$ 不独立。
2. 相关性判断：
  要验证是否不相关，核心是证明协方差为0，即 $E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]$：
  - 计算期望 $E[X_1]$：$E[X_1]= \frac{2}{π} \int_{-1}^{1} x_1\sqrt{1 − x_1^2 }dx_1=0$，这里被积函数是奇函数，在对称区间上的积分结果为0；同理可得 $E[X_2]=0$，所以 $E[X_1]E[X_2]=0$。
  - 计算联合期望 $E[X_1X_2]$：$E[X_1X_2]= \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}x_1 \left(\int_{-2\sqrt{1-x_1^2}}{2\sqrt{1-x_1^2}}x_2 dx_2\right)dx_1$，内层积分是关于 $x_2$ 的奇函数在对称区间上的积分，结果直接为0，因此整个二重积分的结果也是0。
  - 由此可得 $E[X_1X_2]=E[X_1]E[X_2]$，说明 $X_1$ 和 $X_2$ 不相关。