有限生成且仅有唯一极大子群的群是否为有限循环群？

我想求证或推翻这个命题：若G是有限生成群且仅有唯一极大子群，则G是有限循环群。

我已经知道当G是有限群时，这个结论是成立的，但对于无限群的情况，我还拿不准。我试着套用有限群的证明思路，过程如下：

设M是G的唯一极大子群，任取$a\in G\setminus M$，考虑子群$\langle a \rangle$。如果能证明G的任意真子群都包含在某个极大子群中，那么$\langle a \rangle$就不可能是真子群（因为它不在M里，而M是唯一的极大子群），这样就能推出G是循环群了。但现在我卡在了证明“任意真子群都包含于极大子群”这一步：

假设G由$a_1,a_2,\dots,a_n$有限生成，H是G的一个真子群。定义集合$S = {M\leq G: M \text{ 是真子群且 } H\leq M}$：

• 对于S中的任意链，由于G是有限生成的，链中所有子群的并集必然是真子群（否则并集会包含所有生成元，等于G，矛盾），所以这个链在S中有上界。
• 根据佐恩引理，S存在极大元，但这个极大元只是相对于S的极大，并不是G的极大子群——也就是说，它只是“包含H的真子群里最大的那个”，但本身可能还能被G的更大的真子群包含。

到这里我就不知道该怎么继续了。目前我觉得这个命题可能是不成立的，但我想不出合适的反例，毕竟我对无限群的了解不算深入。

有没有大佬能给个反例，或者帮我修正这个证明？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user2345678