利用极化恒等式证明算子相等

嘿，这个问题其实很好拆解，核心就是靠极化恒等式把我们已知的「二次型相等」，转化为「算子对任意向量对的内积作用相等」，最后利用Hilbert空间内积的性质推出算子相等。

先分两种情况来看：

复Hilbert空间的情况 #

复空间里的极化恒等式是这样的：
对于任意$x,y \in D(A)=D(B)$，有
$$
\langle x,Ay\rangle = \frac{1}{4}\sum_{k=0}^3 i^k \langle x+i^k y, A(x+i^k y)\rangle
$$
因为题目里说了，对所有$z \in D(A)$，$\langle z,Az\rangle = \langle z,Bz\rangle$，那我们把$z$换成$x+i^k y$（显然它也在定义域里，因为定义域相同且是线性子空间），上面等式右边的每一项$\langle x+i^k y, A(x+i^k y)\rangle$都能替换成$\langle x+i^k y, B(x+i^k y)\rangle$。

替换后右边就变成了$\frac{1}{4}\sum_{k=0}^3 i^k \langle x+i^k y, B(x+i^k y)\rangle$，而这正好就是$\langle x,By\rangle$（复极化恒等式对B也成立）。

所以我们就得到了：对所有$x,y \in D(A)$，$\langle x,Ay\rangle = \langle x,By\rangle$。

根据Hilbert空间内积的性质，如果对任意$x$都有$\langle x, Ay - By\rangle = 0$，那必须有$Ay - By = 0$，也就是$Ay = By$对所有$y \in D(A)$成立，自然$A=B$。

实Hilbert空间的情况 #

实空间的极化恒等式稍微简单一点：
$$
\langle x,Ay\rangle = \frac{1}{4}\left(\langle x+y,A(x+y)\rangle - \langle x-y,A(x-y)\rangle\right)
$$
同样的逻辑，把右边的A换成B（因为$\langle z,Az\rangle=\langle z,Bz\rangle$对所有z成立），右边就等于$\langle x,By\rangle$，同样能推出$\langle x,Ay\rangle=\langle x,By\rangle$，进而得到$A=B$。

总结一下：极化恒等式的作用就是把仅针对单个向量的二次型条件，拓展到了任意两个向量的内积条件，而Hilbert空间内积的非退化性（只要和所有向量内积为0的向量只能是零向量），直接保证了算子在整个定义域上的作用完全一致，所以A和B必然相等。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mac Menders